푸비니 정리

단조함수항 급수의 항별 미분에 관한 정리에 대해서는 푸비니의 미분 정리 문서를 참고하십시오.

해석학에서 푸비니 정리(-定理, 영어: Fubini’s theorem) 또는 푸비니-토넬리 정리(-定理, 영어: Fubini-Tonelli theorem)는 이중 적분은 두 번의 일변수 적분을 통해 구할 수 있고, 이는 두 변수에 대한 적분의 순서와 무관하다는 정리이다.

정의

추이 측도로 유도된 측도의 경우

다음이 주어졌다고 하자.

• 시그마 유한 측도 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$
• 가측 공간 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$
• 시그마 유한 추이 측도 ${\displaystyle \nu \colon X\times {\mathcal {G}}\to [0,\infty ]}$

그렇다면, 곱 가측 공간 ${\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})}$ 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도 ${\displaystyle \mu \times \nu }$가 존재하며, 이는 시그마 유한 측도를 이룬다.

${\displaystyle (\mu \times \nu )(A\times B)=\int _{A}\nu (x,B)\mathrm {d} \mu (x)\qquad (\forall A\in {\mathcal {F}},\;B\in {\mathcal {G}})}$

구체적으로 이 측도는 다음과 같다.

${\displaystyle (\mu \times \nu )(S)=\int _{X}\nu (x,\{y\in Y\colon (x,y)\in S\})\mathrm {d} \mu (x)\qquad (\forall S\in {\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})}$

또한, 일반화 푸비니 정리(一般化-定理, 영어: generalized Fubini’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• 임의의 음이 아닌 가측 함수 ${\displaystyle f\colon X\times Y\to ([0,\infty ),{\mathcal {B}}([0,\infty )))}$에 대하여, 다음 함수는 가측 함수이다.

  ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}$

  ${\displaystyle x\mapsto \int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (x,\cdot )(y)}$

• 임의의 가측 함수 ${\displaystyle f\colon X\times Y\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f}$의 적분이 확장된 실수로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle (\mu \times \nu )}$-적분 가능하다면, 거의 모든 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle y\mapsto f(x,y)}$는 ${\displaystyle \nu (x,\cdot )}$-적분 가능하다.)^{[1]:384–385, Theorem 10.7.2}

  ${\displaystyle \int _{X\times Y}f\mathrm {d} (\mu \times \nu )=\int _{X}\mathrm {d} \mu (x)\int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (x,\cdot )(y)}$

곱측도의 경우

두 시그마 유한 측도 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$와 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}},\nu )}$가 주어졌다고 하자. 또한 ${\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}},\mu \times \nu )}$가 곱측도 공간이라고 하자. 푸비니 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^{[2]:164–165}

• 임의의 음이 아닌 가측 함수 ${\displaystyle f\colon X\times Y\to ([0,\infty ),{\mathcal {B}}([0,\infty )))}$에 대하여, 다음 두 함수는 가측 함수이다.

  ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}$

  ${\displaystyle x\mapsto \int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (y)}$

  ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}$

  ${\displaystyle y\mapsto \int _{X}f(x,y)\mathrm {d} \mu (x)}$

• 임의의 가측 함수 ${\displaystyle f\colon X\times Y\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f}$의 적분이 확장된 실수로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle (\mu \times \nu )}$-적분 가능하다면, 거의 모든 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 ${\displaystyle y\mapsto f(x,y)}$는 ${\displaystyle \nu }$-적분 가능하며, 거의 모든 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여 ${\displaystyle x\mapsto f(x,y)}$는 ${\displaystyle \mu }$-적분 가능하다.)^{[3]:185, Theorem 3.4.4}

  ${\displaystyle \int _{X\times Y}f\mathrm {d} (\mu \times \nu )=\int _{X}\mathrm {d} \mu (x)\int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (y)=\int _{Y}\mathrm {d} \nu (y)\int _{X}f(x,y)\mathrm {d} \mu (x)}$

이는 추이 측도에 대한 결과에서 다음 두 추이 측도를 취하여 얻는 특수한 경우이다.

${\displaystyle X\times {\mathcal {G}}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle (x,B)\mapsto \nu (B)}$

${\displaystyle Y\times {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle (y,A)\mapsto \mu (A)}$

리만 적분

 중적분 § 누차 적분과의 관계 문서를 참고하십시오.

직사각형 ${\displaystyle [a,b]\times [c,d]\subseteq \mathbb {R} }$ 위에 정의된 함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} }$가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle [a,b]\times [c,d]}$ 위에서 리만 적분 가능하다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in [a,b]}$에 대하여, ${\displaystyle y\mapsto f(x,y)}$는 ${\displaystyle [c,d]}$ 위에서 리만 적분 가능하다.
• 임의의 ${\displaystyle y\in [a,b]}$에 대하여, ${\displaystyle x\mapsto f(x,y)}$는 ${\displaystyle [a,b]}$ 위에서 리만 적분 가능하다.

그렇다면, 다음이 성립한다.^[4]:376

• ${\displaystyle x\mapsto \int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y}$와 ${\displaystyle y\mapsto \int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x}$는 ${\displaystyle [a,b]}$ 위에서 리만 적분 가능하다.
• ${\displaystyle \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y=\int _{c}^{d}\mathrm {d} y\int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x}$

증명:

다르부 적분의 정의에 따라, 임의의 ${\displaystyle x\in [a,b]}$에 대하여 리만 적분

${\displaystyle \int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y}$

가 존재한다는 가정 아래 다음 부등식이 성립함을 보일 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {L} \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\leq \operatorname {L} \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y\leq \operatorname {U} \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y\leq \operatorname {U} \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {U} }$와 ${\displaystyle \operatorname {L} }$은 각각 다르부 상적분과 다르부 하적분을 나타낸다. 따라서 만약 추가로 ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle [a,b]\times [c,d]}$에서 리만 적분 가능할 경우 위 네 식이 모두 같아지므로 리만 적분

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y}$

가 존재하며

${\displaystyle \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y}$

이다. 남은 절반의 증명은 유사하다.

이상 적분

 중적분 § 이상 중적분의 성질 문서를 참고하십시오.

확장된 실수 ${\displaystyle a<b}$ 및 실수 ${\displaystyle c<d}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon (a,b)\times [c,d]\to \mathbb {R} }$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle f}$는 연속 함수이다.
• 이상 적분 ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x}$는 ${\displaystyle y\in [c,d]}$ 위에서 균등 수렴한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.^[4]:391

• 이상 적분 ${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y}$가 존재한다.
• ${\displaystyle \int _{c}^{d}\mathrm {d} y\int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y}$

그 밖에도 다양한 꼴의 이상 적분에 대하여 유사한 결론이 성립한다.

역사

이탈리아의 수학자 귀도 푸비니의 이름이 붙어 있다.

같이 보기

• 카발리에리의 원리
• 쿠라토프스키-울람 정리