톰 스펙트럼

보충 경계 이론에서, 톰 스펙트럼(영어: Thom spectrum)은 직교군의 분류 공간의 톰 공간들로 구성된 스펙트럼이다. 이 스펙트럼에 대응하는 호몰로지 이론은 보충 경계환이다.

정의

분류 공간

${\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {EO} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)}$

위의 연관 벡터 다발

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\hookrightarrow (\operatorname {EO} (n)\times _{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)}$

의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자.

${\displaystyle \operatorname {MO} (n)=\operatorname {Th} (\operatorname {EO} (n)\times _{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})}$

리 군의 포함 관계

${\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)}$

로부터 유도되는 분류 공간의 포함 관계

${\displaystyle g_{n}\colon \operatorname {BO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BO} (n+1)}$

로부터, 벡터 다발의 당김 올다발

${\displaystyle g_{n}^{*}(\operatorname {EO} (n+1)\times _{\operatorname {O} (n+1)}\mathbb {R} ^{n})\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)}$

을 정의할 수 있다. 이 경우,

${\displaystyle g_{n}^{*}(\operatorname {EO} (n+1)\times _{\operatorname {O} (n+1)}\mathbb {R} ^{n})=\operatorname {EO} (n)\oplus _{\operatorname {BO} (n)}(\operatorname {BO} (n)\times \mathbb {R} )}$

은 자명한 1차원 벡터 다발을 직합으로 더한 것이다. 톰 공간을 취했을 때, 이는 축소 현수를 이룬다.

${\displaystyle \operatorname {Th} \left(g_{n}^{*}(\operatorname {EO} (n+1)\times _{\operatorname {O} (n+1)}\mathbb {R} ^{n})\right)=\Sigma \operatorname {Th} (\operatorname {EO} (n)\times _{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})=\Sigma \operatorname {MO} (n)}$

즉, 이는 사상

${\displaystyle \Sigma \operatorname {MO} (n)\to \operatorname {MO} (n+1)}$

을 정의한다. 이 사상들은 스펙트럼

${\displaystyle \operatorname {MO} }$

을 정의하는데, 이를 톰 스펙트럼(영어: Thom spectrum)이라고 한다.

복소수·사원수 톰 스펙트럼

위와 유사하게, 실수와 직교군 대신 복소수와 유니터리 군을 사용하여 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {MU} }$를 정의할 수 있다. 구체적으로, 포함 관계

${\displaystyle g_{n}\colon \operatorname {BU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BU} (n+1)}$

에 의하여,

${\displaystyle g_{n}^{*}(\operatorname {EU} (n+1)\times _{\operatorname {U} (n+1)}\mathbb {C} ^{n})=\operatorname {EU} (n)\oplus (\operatorname {BU} (n)\times \mathbb {C} )}$

이므로,

${\displaystyle \operatorname {Th} \left(g_{n}^{*}(\operatorname {EU} (n+1)\times _{\operatorname {U} (n+1)}\mathbb {C} ^{n})\right)=\Sigma ^{2}\operatorname {Th} (\operatorname {EU} (n)\times _{\operatorname {U} (n)}\mathbb {C} ^{n})=\Sigma ^{2}\operatorname {MU} (n)}$

이다. 그러나 복소평면은 (실수선과 달리) 2차원이므로, 이는 스펙트럼의 짝수차 성분만을 정의한다.

마찬가지로, 사원수와 콤팩트 심플렉틱 군 ${\displaystyle \operatorname {USp} (2n)}$을 사용하여 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {MUSp} }$를 정의할 수 있다. 구체적으로, 포함 관계

${\displaystyle g_{n}\colon \operatorname {BUSp} (2n)\hookrightarrow \operatorname {BUSp} (2n+2)}$

에 의하여,

${\displaystyle g_{n}^{*}(\operatorname {EUSp} (2n+2)\times _{\operatorname {USp} (2n+2)}\mathbb {H} ^{n})=\operatorname {EUSp} (2n)\oplus (\operatorname {BUSp} (2n)\times \mathbb {H} )}$

이므로,

${\displaystyle \operatorname {Th} \left(g_{n}^{*}(\operatorname {EUSp} (2n+2)\times _{\operatorname {USp} (2n+2)}\mathbb {H} ^{n})\right)=\Sigma ^{4}\operatorname {Th} (\operatorname {EUSp} (2n)\times _{\operatorname {USp} (2n)}\mathbb {H} ^{n})=\Sigma ^{4}\operatorname {MUSp} (4n)}$

이다. 사원수 공간은 4차원이므로, 이는 스펙트럼의 4의 배수차 성분만을 정의한다.

역사

르네 톰의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Thom spectrum” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Thom spectrum” (영어). 《nLab》.