특성 단순군

군론에서, 특성 단순군(特性單純群, 영어: characteristically simple group)은 특성 부분군이 자명 부분군과 자기 자신밖에 없는, 자명군이 아닌 군이다.

정의

군 ${\displaystyle G}$가 자명군이 아니며, 특성 부분군이 자명 부분군 ${\displaystyle 1}$과 군 전체 ${\displaystyle G}$밖에 없다면, ${\displaystyle G}$를 특성 단순군이라고 한다.

분류

유한군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle G}$는 특성 단순군이다.
• ${\displaystyle G\neq 1}$이며, ${\displaystyle G}$의 완전 불변 부분군은 ${\displaystyle 1}$과 ${\displaystyle G}$밖에 없다.
• ${\displaystyle G\neq 1}$이며, ${\displaystyle G}$의 언어적 부분군은 ${\displaystyle 1}$과 ${\displaystyle G}$밖에 없다.
• ${\displaystyle G\neq 1}$이며, ${\displaystyle G}$는 어떤 같은 단순군의 직접곱 ${\displaystyle \underbrace {N\times \cdots \times N} _{n}}$과 동형이다.

증명:

우선, ${\displaystyle G}$가 유한 특성 단순군이라고 하고, ${\displaystyle G}$가 유한 개의 같은 단순군의 직접곱임을 보이자. 편의상 ${\displaystyle G\neq \{1_{G}\}}$이라고 하자. ${\displaystyle G}$의 임의의 극소 정규 부분군 ${\displaystyle N}$을 취하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Aut} (G)}$에 대하여, ${\displaystyle \phi (N)}$ 역시 극소 정규 부분군이다. 이제 ${\displaystyle M}$이

${\displaystyle \{\phi _{1}(N)\times \cdots \times \phi _{k}(N)\leq G\colon \phi _{i}\in \operatorname {Aut} (G),\;\forall i\in \{1,\dots ,k\}\colon \phi _{i}(N)\cap \phi _{1}(N)\cdots \phi _{i-1}(N)\phi _{i+1}(N)\cdots \phi _{k}(N)=\{1_{G}\}\}}$

의 한 극대 원소라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle M\vartriangleleft G}$이며, 임의의 ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Aut} (G)}$에 대하여, ${\displaystyle \phi (N)\cap M\vartriangleleft G}$이다. 따라서 ${\displaystyle \phi (N)\cap M=\{1_{G}\}}$이거나 ${\displaystyle \phi (N)\cap M=\phi (N)}$이며, ${\displaystyle M}$의 극대성에 의하여 ${\displaystyle \phi (N)\cap M=\phi (N)}$이다. 즉,

${\displaystyle M=\prod _{\phi (N)}\phi (N)}$

이며, ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle G}$의 특성 부분군이다. ${\displaystyle G}$는 특성 단순군이므로 ${\displaystyle G=M}$이다. 또한, 임의의 ${\displaystyle H\vartriangleleft N}$에 대하여, ${\displaystyle H\vartriangleleft G}$이므로, ${\displaystyle N}$의 극소성에 의하여 ${\displaystyle H=\{1_{G}\}}$이거나 ${\displaystyle H=N}$이다. 즉, ${\displaystyle N}$은 단순군이며,

${\displaystyle G=\prod _{\phi (N)}\phi (N)\cong \prod _{\phi (N)}N}$

이다.

반대로, 임의의 단순군 ${\displaystyle N}$ 및 음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle N^{\times n}}$이 특성 단순군임을 보이자. 만약 ${\displaystyle N}$이 아벨 군이라면, ${\displaystyle |N|}$은 소수이며, ${\displaystyle N}$에 체의 구조를 부여할 수 있고, ${\displaystyle N^{\times n}}$을 이 체에 대한 ${\displaystyle n}$차원 벡터 공간으로 생각할 수 있다. 이 경우 ${\displaystyle N^{\times n}}$의 군으로서의 자기 동형 사상은 전단사 선형 변환과 동치이며, 특성 부분군은 모든 전단사 선형 변환에 대하여 불변인 부분 벡터 공간과 동치이다. 이러한 부분 공간은 영공간과 자기 자신뿐이므로, ${\displaystyle N^{\times n}}$은 특성 단순군이다.

만약 ${\displaystyle N}$이 아벨 군이 아니라면, ${\displaystyle n}$개의 자연스러운 단사 군 준동형

${\displaystyle \imath _{i}\colon N\hookrightarrow N^{\times n}\qquad (i\in \{1,\dots ,n\})}$

의 상을 ${\displaystyle \imath _{i}(N)=N_{i}}$로 표기하자. 그렇다면 ${\displaystyle N^{\times n}}$은 다음과 같은 내직접곱과 같다.

${\displaystyle N^{\times n}=N_{1}\times \cdots \times N_{n}}$

우선 임의의 ${\displaystyle H\vartriangleleft N^{\times n}}$를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다는 사실을 보이자.

${\displaystyle H=N_{i_{1}}\times \cdots \times N_{i_{k}}\qquad (1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n)}$

이는 임의의 ${\displaystyle g\in H}$ 및 ${\displaystyle g_{i}\in N_{i}}$ 및 ${\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle g=g_{1}\cdots g_{n}}$이며, ${\displaystyle g_{j}\neq 1_{N^{\times n}}}$일 경우, ${\displaystyle N_{j}\subseteq H}$임을 보이는 것으로 족하다. ${\displaystyle N_{j}}$는 비아벨 단순군이므로 ${\displaystyle \operatorname {Z} (N_{j})=\{1_{N^{\times n}}\}}$이며, 특히 ${\displaystyle g_{j}\not \in \operatorname {Z} (N_{j})}$이다. 따라서,

${\displaystyle 1_{N^{\times n}}\neq g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1}=ghg^{-1}h^{-1}\in H}$

인 ${\displaystyle h\in N_{j}}$가 존재하며,

${\displaystyle N_{j}=\langle \operatorname {Cl} (g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1})\rangle \subseteq H}$

이다. (여기서 ${\displaystyle \langle \operatorname {Cl} (g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1})\rangle }$는 ${\displaystyle g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1}}$의 켤레류로 생성된 부분군을 뜻한다.)

이제 ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle N^{\times n}}$의 자명하지 않은 특성 부분군이라고 가정하자. 편의상

${\displaystyle H=N_{1}\times \cdots \times N_{k}\qquad (1\leq k<n)}$

이라고 하자. 다음과 같은 ${\displaystyle N^{\times n}}$의 자기 동형 사상을 생각하자.

${\displaystyle \phi \colon N^{\times n}\to N^{\times n}}$

${\displaystyle \phi \colon (g_{1},g_{2},\dots ,g_{n})\mapsto (g_{n},g_{1},\dots ,g_{n-1})\qquad (g_{i}\in N)}$

그렇다면

${\displaystyle \phi (H)=N_{2}\times \cdots \times N_{k+1}\neq H}$

이며, 이는 모순이다. 즉, ${\displaystyle N^{\times n}}$은 자명하지 않은 특성 부분군을 갖지 않는다.

예

유한 개의 소수 ${\displaystyle p}$ 크기의 군의 직접곱은 특성 단순군이다. 보다 일반적으로, 벡터 공간의 덧셈군은 특성 단순군이다.

임의의 군의 극소 정규 부분군은 특성 단순군이다.

외부 링크

• “Characteristically simple group”. 《Groupprops》 (영어).