특성 부분군

군론에서, 특성 부분군(特性部分群, 영어: characteristic subgroup)은 자기 동형 사상 아래 불변인 부분군이다.

정의

군 ${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$가 다음 조건을 만족시키면, ${\displaystyle H}$를 ${\displaystyle G}$의 특성 부분군이라고 한다.

• 임의의 군 자기 동형 사상 ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Aut} (G)}$에 대하여, ${\displaystyle \phi (H)\leq H}$. (물론, 반드시 ${\displaystyle \phi (H)=H}$이다.)

즉, ${\displaystyle G}$의 특성 부분군은 ${\displaystyle G}$의 자기 동형 사상 아래 불변인 부분군이다.

군 ${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$가 다음 조건을 만족시키면, ${\displaystyle H}$를 ${\displaystyle G}$의 완전 불변 부분군(完全不變部分群, 영어: fully invariant subgroup)이라고 한다.

• 임의의 군 자기 준동형 ${\displaystyle \phi \in \operatorname {End} (G)}$에 대하여, ${\displaystyle \phi (H)\leq H}$. (${\displaystyle \phi (H)=H}$일 필요는 없다.)

즉, ${\displaystyle G}$의 완전 불변 부분군은 ${\displaystyle G}$의 자기 준동형에 대하여 닫혀 있는 부분군이다.

성질

임의의 군의 부분군에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

완전 불변 부분군 ⇒ 특성 부분군 ⇒ 정규 부분군

특성 부분군·완전 불변 부분군은 추이적 관계를 이룬다. 즉,

• 만약 ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle G}$의 특성 부분군이며, ${\displaystyle K}$가 ${\displaystyle H}$의 특성 부분군이라면, ${\displaystyle K}$는 ${\displaystyle G}$의 특성 부분군이다.^{[1]:28, §1.5.6.(i)}
• 만약 ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle G}$의 완전 불변 부분군이며, ${\displaystyle K}$가 ${\displaystyle H}$의 완전 불변 부분군이라면, ${\displaystyle K}$는 ${\displaystyle G}$의 완전 불변 부분군이다.^{[1]:28, §1.5.6.(ii)}

증명:

${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle G}$의 특성 부분군이며, ${\displaystyle K}$가 ${\displaystyle H}$의 특성 부분군이이며, ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Aut} (G)}$라고 하자. ${\displaystyle \phi (H)=H}$이므로, ${\displaystyle \phi |_{H}\in \operatorname {Aut} (H)}$이다. 따라서

${\displaystyle \phi (K)=\phi |_{H}(K)=K}$

이다.

${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle G}$의 완전 불변 부분군이며, ${\displaystyle K}$가 ${\displaystyle H}$의 완전 불변 부분군이이며, ${\displaystyle \phi \in \operatorname {End} (G)}$라고 하자. ${\displaystyle \phi (H)\leq H}$이므로, ${\displaystyle \phi |_{H}\in \operatorname {End} (H)}$이다. 따라서

${\displaystyle \phi (K)=\phi |_{H}(K)\leq K}$

이다.

만약 ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이며, ${\displaystyle K}$가 ${\displaystyle H}$의 특성 부분군이라면, ${\displaystyle K}$는 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이다.^{[1]:28, §1.5.6.(iii)}

증명:

${\displaystyle \phi \in \operatorname {Inn} (G)}$라고 하자. ${\displaystyle \phi (H)=H}$이므로, ${\displaystyle \phi |_{H}\in \operatorname {Aut} (H)}$이다. 따라서

${\displaystyle \phi (K)=\phi |_{H}(K)=K}$

이다.

예

군 ${\displaystyle G}$의 다음 부분군들은 완전 불변 부분군이다.

• 자명 부분군 ${\displaystyle 1}$과 군 전체 ${\displaystyle G}$
• 교환자 부분군 ${\displaystyle G^{(1)}=[G,G]}$
• 보다 일반적으로, 하중심렬 ${\displaystyle G=\gamma _{0}(G)\geq \gamma _{1}(G)\geq \gamma _{2}(G)\geq \cdots }$ 속 부분군
• 음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, ${\displaystyle G^{n}=\{g_{1}^{n}\cdots g_{k}^{n}\colon k\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\},\;g_{1},\dots ,g_{k}\in G\}}$

모든 완전 불변 부분군은 특성 부분군이다. 군 ${\displaystyle G}$의 다음 부분군들 역시 특성 부분군이다.

• 프라티니 부분군 ${\displaystyle \Phi (G)}$
• 중심 ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$
  • 보다 일반적으로, 상중심렬 ${\displaystyle 1=\operatorname {Z} _{0}(G)\leq \operatorname {Z} _{1}(G)\leq \operatorname {Z} _{2}(G)\leq \cdots }$ 속 부분군