파레토 분포

통계학에서 파레토 분포(Pareto分布, 영어: Pareto distribution)는 사회과학에서 널리 볼 수 있는 확률분포이다.

파레토 분포

확률 밀도 함수
누적 분포 함수
매개변수	xm > 0 scale (real) α > 0 shape
지지집합	${\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} },+\infty )}$
확률 밀도	${\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}{\text{ for }}x\geq x_{m}}$
누적 분포	${\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }{\text{ for }}x\geq x_{m}}$
기댓값	${\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \leq 1\\{\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{for }}\alpha >1\end{cases}}}$
최빈값	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }}$
분산	${\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \in (1,2]\\{\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{for }}\alpha >2\end{cases}}}$
비대칭도	${\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3}$
첨도	${\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4}$
엔트로피	${\displaystyle \ln \left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)+{\frac {1}{\alpha }}+1}$
적률생성함수	${\displaystyle \alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ for }}t<0}$
특성함수	${\displaystyle \alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)}$

정의

파레토 분포는 다음 성질을 만족시키는 확률변수 ${\displaystyle X}$가 따르는 확률분포이다.

${\displaystyle \Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} }\end{cases}}}$

즉, 파레토 분포는 두 개의 매개변수 ${\displaystyle x_{\text{m}},\alpha }$를 가진다. ${\displaystyle x_{m}>0}$은 ${\displaystyle X}$의 최솟값이고, ${\displaystyle \alpha >0}$은 파레토 지표라는 매개변수이다. ${\displaystyle \alpha }$가 더 크다면 이 분포는 더 큰 불평등을 나타낸다. 즉, ${\displaystyle \alpha }$가 0에 가까울 수록 더 균등분포에 가깝고, 반대로 ${\displaystyle \alpha }$가 더 클 수록 디랙 델타 함수에 가까워진다.

응용

빌프레도 파레토는 파레토 분포를 사회에서 부의 분포를 나타내기 위해 사용하였다. 사회에서는 부의 불공평한 분포로 인해 대부분의 부가 소수에 의해 소유되는데 (파레토 법칙), 파레토 분포는 이를 효과적으로 나타낸다.^[1]