퍼지 구

비가환 기하학에서 퍼지 구(fuzzy球, 영어: fuzzy sphere)는 일반적인 구를 비가환 공간으로 일반화한 경우다. 3차원 각운동량 연산자로 생성된다.

정의

스핀이 ${\displaystyle j}$인 SU(2) 표현 ${\displaystyle J_{i}}$ (${\displaystyle i=1,2,3}$)를 생각하자. 이들은 ${\displaystyle (2j+1)\times (2j+1)}$ 에르미트 행렬이며, 다음과 같은 관계를 만족시킨다.

${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}}$

여기서 ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$는 3차원 레비치비타 기호다.

다음과 같은 총 각운동량 연산자를 생각하자.

${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}=J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)}$

이제 다음과 같이 좌표 ${\displaystyle \mathbf {x} }$를 정의하자.

${\displaystyle x_{i}={\frac {J_{i}R}{\hbar {\sqrt {j(j+1)}}}}}$

그렇다면

${\displaystyle \mathbf {x} ^{2}=R^{2}}$

이 되므로, ${\displaystyle \mathbf {x} }$를 반지름이 ${\displaystyle R}$인 구의 좌표로 생각할 수 있다. 이 비가환 공간을 퍼지 구(영어: fuzzy sphere)라고 한다. 영어: fuzzy 퍼지^[*]는 ‘흐릿한, 보풀이 이는’을 뜻하는 형용사로, 좌표의 비가환성을 보풀에 비유한 것이다.

퍼지 구의 좌표들 ${\displaystyle x_{i}}$는 서로 가환하지 않는다.

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]={\frac {R}{\sqrt {j(j+1)}}}i\epsilon _{ijk}x_{k}}$

다만, 각운동량이 매우 큰 고전적 극한 ${\displaystyle j\to \infty }$을 취하면, ${\displaystyle [x_{i},x_{j}]\to 0}$이 되어 가환구로 수렴하게 된다.

퍼지 구 위의 미적분

퍼지 구 위의 함수는 ${\displaystyle (2j+1)\times (2j+1)}$ 에르미트 행렬이다. 이러한 함수 ${\displaystyle F}$의 미분은 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {x} \times \nabla F=i{\frac {\sqrt {j(j+1)}}{R}}[\mathbf {x} ,F]}$

이는 ${\displaystyle F=x_{i}}$를 대입하면 올바른 결과를 얻는 것을 알 수 있다. 이를 사용하여 라플라스 연산자도 유사하게 정의할 수 있다.

적분은 대각합에 비례하게 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \int F={\frac {2\pi R^{2}}{\sqrt {j(j+1)}}}\operatorname {tr} (F)}$

이렇게 하면, 상수함수 ${\displaystyle F=I}$ (단위행렬)을 대입해 퍼지 구의 겉넓이를 구할 수 있다.

${\displaystyle \int I={\frac {2\pi R^{2}}{\sqrt {j(j+1)}}}\operatorname {tr} (F)=4\pi R^{2}{\frac {j+1/2}{\sqrt {j(j+1)}}}}$

따라서 고전적 극한 ${\displaystyle j\to \infty }$를 취하면 겉넓이가 가환구의 겉넓이 ${\displaystyle 4\pi R^{2}}$로 수렴하는 것을 알 수 있다.

역사

존 마도어(영어: John Madore)가 1991년에 도입하였다.^[1]