포함 함수

수학에서 포함 함수(包含函數, 영어: inclusion function) 또는 포함 사상(包含寫像, 영어: inclusion map)은 정의역이 공역의 부분 집합이며, 정의역의 모든 원소를 자신으로 대응시키는 함수이다.

정의

집합 ${\displaystyle X}$와 그 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle Y}$에서 ${\displaystyle X}$로 가는 포함 함수 ${\displaystyle \iota _{Y,X}}$는 다음과 같은 함수이다.

• ${\displaystyle \iota _{Y,X}\colon Y\hookrightarrow X}$
• 임의의 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle \iota _{Y,X}(y)=y}$

즉, 이는 ${\displaystyle Y}$의 항등 함수의 공역을 ${\displaystyle X}$로 확대하여 얻는다.

성질

모든 포함 함수는 단사 함수이다. 모든 단사 함수는 전단사 함수와 포함 함수의 합성이다.

관련 개념

포함 함자

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$와 그 부분 범주 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$에서 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$로 가는 포함 함자(包含函子, 영어: inclusion functor) ${\displaystyle \iota _{{\mathcal {D}},{\mathcal {C}}}}$는 다음과 같은 함자이다.

• ${\displaystyle \iota _{{\mathcal {D}},{\mathcal {C}}}\colon {\mathcal {D}}\hookrightarrow {\mathcal {C}}}$
• 임의의 대상 ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})}$에 대하여, ${\displaystyle \iota _{{\mathcal {D}},{\mathcal {C}}}(X)=X}$
• 임의의 대상 ${\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})}$ 및 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle \iota _{{\mathcal {D}},{\mathcal {C}}}(f)=f}$

이는 항상 충실한 함자이며, 충만한 함자일 필요충분조건은 충만한 부분 범주이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inclusion map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Inclusion function”. 《nLab》 (영어).