프로이덴탈 현수 정리

수학, 특히 호모토피 이론에서 프로이덴탈 현수 정리(-懸垂定理, 영어: Freudenthal suspension theorem)는 위상 공간의 현수의 호모토피 군에 대한 정리이다.

정리

프로이덴탈 현수 정리

점을 가진 n-연결 공간 ${\displaystyle X}$가 주어졌을 때, 이 공간에 축소 현수 함자 ${\displaystyle \Sigma }$와 고리 공간 함자 ${\displaystyle \Omega }$를 취하는 사상

${\displaystyle X\to \Omega (\Sigma X)}$

로부터 비롯된 호모토피 군 사이의 사상

${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k}(\Omega (\Sigma X))}$

는 ${\displaystyle k\leq 2n}$일 땐 동형 사상이고 ${\displaystyle k=2n+1}$일 땐 전사이다.

고리 공간의 성질에 따라 ${\displaystyle \pi _{k}(\Omega (\Sigma X))\cong \pi _{k+1}(\Sigma X)}$이므로 위 정리는 사상 ${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k+1}(\Sigma X)}$에 대한 것이라고도 할 수 있다.

증명

응용

구의 호모토피 군

초구 ${\displaystyle S^{n}}$은 ${\displaystyle (n-1)}$-연결 공간이고 ${\displaystyle \Sigma S^{n}\cong S^{n+1}}$이므로, 프로이덴탈 현수 정리를 적용하면 ${\displaystyle n>k+1}$일 경우 ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})\cong \pi _{n+k+1}(S^{n+1})}$이라는 것을 알 수 있다. 이 때의 군 ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$를 ‘초구 스펙트럼의 안정 호모토피 군’이라 부르고 ${\displaystyle \pi _{k}^{S}}$로 표기한다.

역사

1938년 한스 프로이덴탈이 발표하였다.^[1] 이 정리는 위상 공간에 연산을 거듭하면 호모토피 군이 어느 시점 이후로 안정화할 수도 있다는 것을 보였고 안정 호모토피 이론을 발전시키게 되었다.