피타고라스 체

체론에서, 피타고라스 체(Πυθαγόρας體, 영어: Pythagorean field)는 제곱수들의 합이 제곱수인 체이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$의 원소 가운데 일부는 유한 개의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있고, 일부는 유한 개의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없다. ${\displaystyle a\in K}$를 제곱수들의 합으로 나타낼 때 필요한 최소 개의 제곱수의 수를 ${\displaystyle P(a)}$라고 쓰자.

${\displaystyle p(a)=\min _{A\subseteq K}^{\sum _{b\in A}b^{2}=b}|A|\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$

체 ${\displaystyle K}$의 피타고라스 수(Πυθαγόρας數, 영어: Pythagorean number) ${\displaystyle p(K)}$는 ${\displaystyle K}$의 원소에 대하여, 위 함수의 최댓값이다.

${\displaystyle p(K)=\max _{a\in K}p(a)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$

즉, 피타고라스 수가 유한한 체 ${\displaystyle K}$에서, 모든 제곱수의 합은 ${\displaystyle p(K)}$개 이하의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다.

피타고라스 수가 1인 체를 피타고라스 체(Πυθαγόρας體, 영어: Pythagorean field)라고 한다. 즉, 피타고라스 체는 제곱수들의 집합이 덧셈에 대하여 모노이드를 이루는 체이다. 즉, 다음 조건이 성립하면 ${\displaystyle K}$를 피타고라스 체라고 한다.

${\displaystyle \forall a,b\in K\exists c\in K\colon a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

기하학적으로, 이는 피타고라스의 정리와 유사하다. 즉, 만약 ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} }$라면, 직각 삼각형에서 사이에 직각이 있는 두 변의 길이가 ${\displaystyle K}$에 속한다면, 나머지 변도 ${\displaystyle K}$에 속해야 한다.

체 ${\displaystyle K}$의 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {K}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle {\bar {K}}}$ 속에, ${\displaystyle K}$를 포함하는 최소의 피타고라스 체 ${\displaystyle K^{\operatorname {py} }}$가 존재한다. 이를 ${\displaystyle K}$의 피타고라스 폐포(Πυθαγόρας閉包, 영어: Pythagorean closure)라고 한다.

성질

임의의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 피타고라스 수와 수준 ${\displaystyle s(K)}$ 사이에 다음과 같은 부등식이 성립한다.^[1]:261

${\displaystyle p(K)\leq s(K)+1}$

모든 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, 피타고라스 수가 ${\displaystyle n}$인 형식적 실체가 존재한다.^[2]:398

형식적 실체가 아닌 체의 경우, 피타고라스 수는 다음 세 가지 가운데 하나이다.^[2]:396

• ${\displaystyle \infty }$
• ${\displaystyle 2^{n}\qquad n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle 2^{n}-1\qquad n\in \mathbb {N} }$

예

피타고라스 수의 예는 다음과 같다.

체	피타고라스 수
대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle {\bar {K}}}$	1
유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$	2
유리수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$	4 (라그랑주 네 제곱수 정리)