하루키 정리

기하학에서, 하루키 정리(영어: Haruki's theorem)는 서로 두 점에서 만나는 세 원의 성질을 다루는 정리이다. 체바 정리와 유사한 등식을 결론으로 한다.

정의

세 원의 각 쌍이 서로 다른 두 점에서 만난다고 하자. 첫째 원 외부에 위치하는 둘째 원과 셋째 원의 교점을 ${\displaystyle A}$라고 하고, 남은 교점을 ${\displaystyle D}$라고 하자. 마찬가지로 둘째 원 외부에 위치하는 셋째·첫째 원의 교점을 ${\displaystyle B}$, 남은 교점을 ${\displaystyle E}$라고 하고, 셋째 원 외부에 위치하는 첫째·둘째 원의 교점을 ${\displaystyle C}$, 남은 교점을 ${\displaystyle F}$라고 하자. 하루키 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^{[1]:144, §12.4}

${\displaystyle {\frac {AF}{BF}}\cdot {\frac {BD}{CD}}\cdot {\frac {CE}{AE}}=1}$

즉, ${\displaystyle AF=a}$, ${\displaystyle BF=b}$, ${\displaystyle BD=c}$, ${\displaystyle CD=d}$, ${\displaystyle CE=e}$, ${\displaystyle AE=f}$라고 정의할 경우

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}\cdot {\frac {e}{f}}=1}$

이 성립한다.

증명

직선 ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle BE}$, ${\displaystyle CF}$는 각각 세 원의 각 쌍의 근축이므로, 근심 ${\displaystyle R}$에서 만난다.^{[1]:145-146, §14.4} 같은 원 속 같은 호의 원주각의 크기가 같다는 성질과 맞꼭지각의 크기가 같다는 성질을 이용하면, 삼각형 ${\displaystyle AER}$와 ${\displaystyle BDR}$, 삼각형 ${\displaystyle BFR}$와 ${\displaystyle CER}$, 삼각형 ${\displaystyle CDR}$와 ${\displaystyle AFR}$는 서로 닮음임을 알 수 있다. 따라서

${\displaystyle {\frac {AE}{BD}}={\frac {ER}{DR}},\;{\frac {BF}{CE}}={\frac {FR}{ER}},\;{\frac {CD}{AF}}={\frac {DR}{FR}}}$

이며,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {AF}{BF}}\cdot {\frac {BD}{CD}}\cdot {\frac {CE}{AE}}&={\frac {BD}{AE}}\cdot {\frac {CE}{BF}}\cdot {\frac {AF}{CD}}\\&={\frac {DR}{ER}}\cdot {\frac {ER}{FR}}\cdot {\frac {FR}{DR}}\\&=1\end{aligned}}}$

이다.

역사

워털루 대학교의 히로시 하루키 교수가 제시하였다.^{[1]:144, §14.4}