삼각행렬

선형대수학에서 삼각행렬(三角行列, 영어: triangular matrix)은 정사각행렬의 특수한 경우로, 주대각선을 기준으로 대각항의 위쪽이나 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 경우를 의미한다.

주대각선

다음과 같은 모양을 가지는 행렬 ${\displaystyle \mathbf {L} }$을 하삼각행렬(lower triangular matrix)로 정의한다.^[1]

${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}l_{1,1}&&&&0\\l_{2,1}&l_{2,2}&&&\\l_{3,1}&l_{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\l_{n,1}&l_{n,2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{n,n}\end{bmatrix}}}$

다음과 같은 모양을 가지는 행렬 ${\displaystyle \mathbf {U} }$을 상삼각행렬(upper triangular matrix)로 정의한다.^[1]

${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}}$

만약 삼각행렬의 대각항이 모두 0인 경우는 순삼각행렬(strict triangular), 혹은 삼각행렬의 모양에 따라 순하삼각행렬, 순상삼각행렬로 부른다.

성질

• 상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬은 대각행렬이다.
• 삼각행렬이면서 정규행렬인 행렬은 대각행렬이다.
• 상삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬에 대해 닫혀 있다. 즉, 상삼각행렬간의 덧셈, 곱셈, 역행렬 연산을 통해 나오는 행렬은 상삼각행렬이다. 이 성질은 하삼각행렬에 대해서도 성립한다.
  • 단, 순삼각행렬 등과 같이 행렬식이 0의 값을 가질 경우 역행렬이 존재하지 않으므로, 역행렬에 대해 닫혀있기 위해서는 삼각행렬이 가역행렬이어야 한다는 추가 조건이 있다.
• 삼각행렬의 행렬식은 대각항들의 곱과 같다.
• 대각행렬과 사다리꼴행렬은 삼각행렬의 특수한 형태이다.

예

• (순)상삼각행렬(식)^[2]

${\displaystyle +eee{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b&2c&d\\0&{\color {red}{4a}}&3b&2c\\0&0&{\color {red}{4a}}&3b\\0&0&0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}=+eee\left({\color {red}{4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b&2c\\0&{\color {red}{4a}}&3b\\0&0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}-3b{\begin{vmatrix}0&3b&2c\\0&4a&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&4a&2c\\0&0&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}-d{\begin{vmatrix}0&4a&3b\\0&0&4a\\0&0&0\\\end{vmatrix}}\right)}$

${\displaystyle +eee{\color {red}{4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b&2c\\0&{\color {red}{4a}}&3b\\0&0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}=+eee{\color {red}{4a}}\left({\color {red}{4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b\\0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}-3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)}$

${\displaystyle -eee3b{\begin{vmatrix}0&3b&2c\\0&4a&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}=-eee3b\left({\cancel {0{\begin{vmatrix}4a&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}}}-3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)}$

${\displaystyle +eee2c{\begin{vmatrix}0&4a&2c\\0&0&3b\\0&0&4a\\\end{vmatrix}}=+eee2c\left({\cancel {0{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}}}-4a{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}+2c{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)}$

${\displaystyle -eeed{\begin{vmatrix}0&4a&3b\\0&0&4a\\0&0&0\\\end{vmatrix}}=-eeed\left({\cancel {0{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}}}-4a{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}+3b{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}\right)}$

${\displaystyle +eee{\color {red}{4a4a}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{4a}}&3b\\0&{\color {red}{4a}}\\\end{vmatrix}}=+eee{\color {red}{4a4a}}({\color {red}{4a4a}}-{\cancel {3b0}})=+{\color {red}{4^{4}a^{4}}}e^{3}=+{\color {red}{256a^{4}}}e^{3}}$

${\displaystyle -eee4a3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}=-eee4a3b(04a-3b0)=0}$

${\displaystyle +eee4a2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}=+eee4a2c(00-4a0)=0}$

${\displaystyle +eee3b3b{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}=+eee3b3b(04a-3b0)=0}$

${\displaystyle -eee3b2c{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}=-eee3b2c(00-4a0)=0}$

${\displaystyle -eee2c4a{\begin{vmatrix}0&3b\\0&4a\\\end{vmatrix}}=-eee2c4a(04a-3b0)=0}$

${\displaystyle +eee2c2c{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}=+eee2c2c(00-00)=0}$

${\displaystyle +eeed4a{\begin{vmatrix}0&4a\\0&0\\\end{vmatrix}}=+eeed4a(00-4a0)=0}$

${\displaystyle -eeed3b{\begin{vmatrix}0&0\\0&0\\\end{vmatrix}}=-eeed3b(00-00)=0}$

• (순)하삼각행렬(식)

${\displaystyle aaa{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0&0&0\\2c&{\color {red}{d}}&0&0\\3b&2c&{\color {red}{d}}&0\\4a&3b&2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}=aaa\left({\color {red}{d}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0&0\\2c&{\color {red}{d}}&0\\3b&2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}-{\cancel {0{\begin{vmatrix}2c&0&0\\3b&d&0\\4a&2c&d\\\end{vmatrix}}+0{\begin{vmatrix}2c&d&0\\3b&2c&0\\4a&3b&d\\\end{vmatrix}}-0{\begin{vmatrix}2c&d&0\\3b&2c&d\\4a&3b&2c\\\end{vmatrix}}}}\right)}$

${\displaystyle aaa{\color {red}{d}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0&0\\2c&{\color {red}{d}}&0\\3b&2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}=aaa{\color {red}{d}}\left({\color {red}{d}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0\\2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}{\cancel {-0{\begin{vmatrix}2c&0\\3b&d\\\end{vmatrix}}+0{\begin{vmatrix}2c&d\\3b&2c\\\end{vmatrix}}}}\right)}$

${\displaystyle aaa{\color {red}{dd}}{\begin{vmatrix}{\color {red}{d}}&0\\2c&{\color {red}{d}}\\\end{vmatrix}}=aaa{\color {red}{dd}}({\color {red}{dd}}-{\cancel {02c}})=a^{3}{\color {red}{d^{4}}}}$

• 삼각행렬 ${\displaystyle A}$에 대해서 ${\displaystyle xI-A}$도 역시 삼각행렬이기 때문에, 고유행렬식 ${\displaystyle det(xI-A)}$은 대각항들을 근으로 가진다. 따라서 ${\displaystyle A}$의 고윳값은 각 대각항이 된다.

• 단위 하삼각행렬

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\\blacksquare &1&0&0\\\blacksquare &\blacksquare &1&0\\\blacksquare &\blacksquare &\blacksquare &1\\\end{bmatrix}}}$

전진 대입과 후진 대입

행렬 방정식 ${\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$ 또는 ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$의 형태에서 각각 하삼각행렬에 대한 전진대입( forward substitution) 및 상 삼각행렬에대한 후진대입(back substitution)이라고하는 반복적 프로세스로 해결하기가 용이하다. 우선 소위 하삼각행렬의 경우의 프로세스는 ${\displaystyle x_{1}}$을 첫번째 계산으로 해서 다음 방정식으로 대입하여 ${\displaystyle x_{2}}$ , ~${\displaystyle x_{n}}$까지 반복한다. 상삼각행렬에서는 역으로 작동하는데 , 첫번째 계산은 ${\displaystyle x_{n}}$, 그런 다음 이를 이전 방정식으로 대입하여 ${\displaystyle x_{n-1}}$, 반복하여 ${\displaystyle x_{1}}$에 이른다.

행렬을 뒤집는것은 아니다.

• 전진대입

행렬 방정식 L x = b는 선형 방정식의 시스템(연립)으로 쓸 수 있다

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &\ddots &&&\vdots \\\ell _{(m-1),1}x_{1}&+&\ell _{(m-1),2}x_{2}&+\dotsb +&\ell _{(m-1),(m-1)}x_{(m-1)}&=&b_{(m-1)}\\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+\dotsb +&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

여기서 ${\displaystyle x_{1}}$는 첫 번째 방정식 (${\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}$) 에만 관련된다. 이어서 두 번째 방정식은 ${\displaystyle x_{1}}$ 과 ${\displaystyle x_{2}}$에 관련된다. 따라서 이미 해결 된 값으로 대입하여 풀수있게된다. 계속해서 마지막의 직전은 ${\displaystyle x_{m}}$이전에 접근한 값 ${\displaystyle x_{m-1}}$이다. 그리고 맨 마지막 ${\displaystyle m}$번째 방정식은 ${\displaystyle x_{m}}$이다.

이러한 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m-1},x_{m}}$ 결과 수식은 다음과 같다.

${\displaystyle x_{1}{\ell _{1,1}}={b_{1}}}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}}}$ 이고,

${\displaystyle x_{2}{\ell _{2,2}}+\ell _{2,1}x_{1}=b_{2}}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}}}$ 이고,

${\displaystyle x_{3}{\ell _{3,3}}+x_{2}{\ell _{2,2}}+\ell _{2,1}x_{1}=b_{3}}$

${\displaystyle x_{3}={{b_{3}-x_{2}{\ell _{2,2}}-\ell _{2,1}x_{1}} \over {\ell _{3,3}}}}$ 이고,

정리하면,

${\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}}}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}}}$

${\displaystyle x_{3}={{b_{3}-x_{2}{\ell _{2,2}}-\ell _{2,1}x_{1}} \over {\ell _{3,3}}}}$

계속해서 ,

${\displaystyle \vdots }$

일반화하면

${\displaystyle x_{m}={{b_{m}-\left(\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}\right)} \over {\ell _{m,m}}}}$

• 후진대입

상삼각행렬 U를 갖는 행렬 방정식은 역방향에서 같은 방식으로 적용하여 접근할 수 있다.

같이 보기

• 사다리꼴행렬
• LU 분해