정규 행렬

선형대수학에서 정규 행렬(正規行列, 영어: normal matrix)은 스스로의 켤레 전치와 가환하는 정사각 행렬이다.^[1][2]

정의

복소수 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle N}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle N}$을 정규 행렬이라고 한다.^{[1]:664–665}

• ${\displaystyle NN^{\dagger }=N^{\dagger }N}$ (${\displaystyle N^{\dagger }}$는 켤레 전치).
  • 실수 행렬의 경우 이 조건은 ${\displaystyle NN^{\top }=N^{\top }N}$과 동치이다 (${\displaystyle N^{\top }}$은 전치 행렬).
• (유니터리 대각화 가능성) ${\displaystyle U^{-1}NU}$가 대각 행렬이 되는 유니터리 행렬 ${\displaystyle U\in \operatorname {U} (n)}$이 존재한다.
  • 특히, 정규 행렬의 고유 공간들은 서로 직교한다.
  • 이 조건은 실수 행렬에서 직교 대각화 가능성으로 대체할 수 없다. (예를 들어, 0도 또는 180도가 아닌 회전 행렬은 실수 직교 행렬이며, 특히 정규 행렬이지만, 실수 고윳값을 가지지 않는다.)

성질

연산에 대한 닫힘

정규 행렬 ${\displaystyle N}$ 및 자연수 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ 및 복소수 ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$에 대하여, ${\displaystyle aN}$과 ${\displaystyle N^{k}}$ 역시 정규 행렬이다. 가역 정규 행렬 ${\displaystyle N}$에 대하여, ${\displaystyle N^{-1}}$ 역시 정규 행렬이다. 그러나 두 정규 행렬의 합과 곱은 정규 행렬일 필요가 없다.

충분 조건

다음 복소수 정사각 행렬들은 모두 정규 행렬이다.^{[1]:664–665}

• 에르미트 행렬
• 반에르미트 행렬
• 유니터리 행렬
• 대각 행렬

복소수 정사각 행렬에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{[2]:315–316, §8.5, Theorem 20}

• 상삼각 정규 행렬이다.
• 하삼각 정규 행렬이다.
• 대각 행렬이다.

유리 표준형

복소수 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle N}$이 정규 행렬이라면, ${\displaystyle U^{-1}NU}$가 유리 표준형이 되는 유니터리 행렬 ${\displaystyle U\in \operatorname {U} (n)}$이 존재한다.^{[2]:356, §9.6, Corollary} 만약 추가로 ${\displaystyle N}$의 모든 성분이 실수일 경우, ${\displaystyle Q^{-1}NQ}$가 유리 표준형이 되는 실수 직교 행렬 ${\displaystyle Q\in \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )}$가 존재한다.^{[2]:356, §9.6, Corollary}

같이 보기

• 정규 작용소