하이네-칸토어 정리

해석학에서 하이네-칸토어 정리(Heine-Cantor定理, 영어: Heine–Cantor theorem)는 두 균등 공간 사이의 함수에 대하여, 만약 정의역이 콤팩트 공간이라면 연속 함수의 개념과 균등 연속 함수의 개념이 일치한다는 정리다.

정의

콤팩트 균등 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}}_{X})}$와 균등 공간 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 주어졌다고 하자. 하이네-칸토어 정리에 따르면, ${\displaystyle f}$가 연속 함수인 것과 균등 연속 함수인 것은 동치이다.^{[1]:198, Theorem 6.31}

증명:

모든 균등 연속 함수는 자명하게 연속 함수이다. 반대로, 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 임의의 측근 ${\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \forall x,y\in X\colon x\approx _{\delta }y\implies f(x)\approx _{\epsilon }f(y)}$

가 성립하는 측근 ${\displaystyle \delta \in {\mathcal {E}}_{X}}$를 찾으면 족하다.

우선,

${\displaystyle \forall x,y,z\in Y\colon x\approx _{\hat {\epsilon }}y\approx _{\hat {\epsilon }}z\implies x\approx _{\epsilon }z}$

인 대칭 측근 ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}\in {\mathcal {E}}_{Y}}$를 찾자.

${\displaystyle f}$가 연속 함수이므로, 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 측근 ${\displaystyle \delta _{x}\in {\mathcal {E}}_{X}}$들이 존재한다.

${\displaystyle \forall x,y\in X\colon x\approx _{\delta _{x}}y\implies f(x)\approx _{\hat {\epsilon }}f(y)}$

이제

${\displaystyle \forall x,y,z,w\in X\colon y\approx _{{\hat {\delta }}_{x}}z\approx _{{\hat {\delta }}_{x}}w\implies y\approx _{\delta _{x}}w}$

인 측근 ${\displaystyle {\hat {\delta }}_{x}\in {\mathcal {E}}_{X}}$들을 고르자. 이제,

${\displaystyle \left\{\{y\in X\colon x\approx _{{\hat {\delta }}_{x}}y\}\colon x\in X\right\}}$

는 ${\displaystyle X}$의 열린 덮개이므로, 콤팩트성에 의하여 유한 부분 덮개

${\displaystyle \left\{\{y\in X\colon x\approx _{{\hat {\delta }}_{\tilde {x}}}y\}\colon {\tilde {x}}\in {\tilde {X}}\right\}}$

${\displaystyle {\tilde {X}}\subseteq X}$

${\displaystyle |{\tilde {X}}|<\aleph _{0}}$

가 존재한다. 이제,

${\displaystyle \forall y,z\in X\colon y\approx _{\delta }z\implies \forall {\tilde {x}}\in {\tilde {X}}\colon y\approx _{\delta _{\tilde {x}}}z}$

인 측근 ${\displaystyle \delta \in {\mathcal {E}}_{X}}$를 고르자.

이제, 임의의 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여 ${\displaystyle x\approx _{\delta }y}$이라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle {\tilde {x}}\approx _{{\hat {\delta }}_{\tilde {x}}}x\approx _{\delta }y}$

인 ${\displaystyle {\tilde {x}}\in {\tilde {X}}}$가 존재한다. 따라서

${\displaystyle {\tilde {x}}\approx _{{\hat {\delta }}_{\tilde {x}}}x\approx _{{\hat {\delta }}_{\tilde {x}}}y}$

이므로

${\displaystyle {\tilde {x}}\approx _{\delta _{\tilde {x}}}x}$

${\displaystyle {\tilde {x}}\approx _{\delta _{\tilde {x}}}y}$

이며, 따라서

${\displaystyle f(x)\approx _{\hat {\epsilon }}f({\tilde {x}})\approx _{\hat {\epsilon }}f(y)}$

이며, 따라서

${\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(y)}$

이다.

예

균등 공간에 대하여, 콤팩트 공간인 것은 완전 유계 공간이자 완비 균등 공간인 것과 동치이다 (하이네-보렐 정리). 만약 정의역이 완전 유계 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아니라면 하이네-칸토어 정리는 일반적으로 성립하지 않는다.

• 탄젠트 함수 ${\displaystyle \tan \colon (-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R} }$는 정의역이 완전 유계 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다.
• 지수 함수 ${\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$는 정의역이 완비 거리 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다.

역사

게오르크 칸토어의 집합론 및 실수의 구성을 바탕으로, 독일의 수학자 에두아르트 하이네가 정의역이 폐구간이고 공역이 실직선인 경우의 하이네-칸토어 정리를 1872년에 증명하였다.^{[2]:188, Lehrsatz B.3.6} 이 논문에서 하이네는 다음과 같이 적었다.

“	할레의 칸토어 씨에게 특별한 감사를 드리고자 한다. 그의 업적은 나의 이 논문의 얼개에 큰 영향을 미쳤다. […] Zu besonderem Danke bin ich dem Herrn Cantor in Halle für seine mündlichen Mittheilungen verpflichtet, welche einen bedeutenden Einfluss auf die Gestaltung meiner Arbeiten ausübten […].	”
	— [2]:173