함수의 합성

수학에서 함수의 합성(函數의合成, 영어: function composition) 또는 합성 함수(合成函數, 영어: composite function)는 한 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다.

함수 ${\displaystyle g\circ f}$. 예를 들어 ${\displaystyle (g\circ f)(c)={\#}}$이다.

정의

임의의 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ 및 두 함수

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 두 함수의 합성 ${\displaystyle g\circ f}$는 다음과 같은 함수이다.

${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$

${\displaystyle g\circ f\colon x\mapsto g(f(x))}$

합성 ${\displaystyle g\circ f}$가 정의되려면, ${\displaystyle f}$의 공역과 ${\displaystyle g}$의 정의역이 같아야 한다.

성질

함수의 합성은 결합 법칙을 만족시킨다. 즉, 임의의 집합 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle W}$ 및 함수

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

${\displaystyle h\colon Z\to W}$

가 주어졌을 때,

${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f\colon X\to W}$

이다. 이에 따라, (항등 함수의 존재를 추가하면) 집합과 함수들은 범주를 이루는 것을 알 수 있다.

증명:

임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여

${\displaystyle (h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))=(h\circ g)(f(x))=((h\circ g)\circ f)(x)}$

이므로

${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$

이다.

임의의 집합 ${\displaystyle X}$ 및 이를 정의역과 공역으로 하는 두 함수 ${\displaystyle f,g\colon X\to X}$가 주어졌을 때, 두 가지 순서의 합성 ${\displaystyle g\circ f}$, ${\displaystyle f\circ g}$을 정의할 수 있다. 이 경우 교환 법칙은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$가 실수체이고,

${\displaystyle f\colon x\mapsto x+1}$

${\displaystyle g\colon x\mapsto x^{2}}$

라고 하면,

${\displaystyle g\circ f\colon x\mapsto (x+1)^{2}}$

${\displaystyle f\circ g\colon x\mapsto x^{2}+1}$

이며,

${\displaystyle (g\circ f)(1)=4\neq 2=(f\circ g)(1)}$

이므로 ${\displaystyle g\circ f\neq f\circ g}$이다.

같이 보기

• 확률 변수
• 고차 함수
• 람다 대수

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Composition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.