호몰로지 차원

환론과 호몰로지 대수학에서 호몰로지 차원(homology次元, 영어: homological dimension)은 환 및 그 가군 위에 정의될 수 있는 일련의 정수 값 차원들이다.

정의

아래 정의에서, 항상

${\displaystyle \sup \varnothing =-\infty }$

${\displaystyle \inf \varnothing =+\infty }$

로 놓는다.

함자의 차원

두 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 사이의 가법 함자

${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$

가 주어졌다고 하자.

만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 단사 대상을 충분히 가지는 범주일 때, ${\displaystyle F}$의 코호몰로지 차원(cohomology次元, 영어: cohomological dimension)은 다음과 같다.^{[1]:394, Definition 10.5.10}

${\displaystyle \operatorname {cohd} F=\sup\{n\in \mathbb {N} \colon \operatorname {R} ^{n}F(A)=0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}\}\in \mathbb {N} \sqcup \{-\infty ,+\infty \}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {R} ^{n}}$은 ${\displaystyle n}$차 오른쪽 유도 함자를 뜻한다. 만약 ${\displaystyle F=0}$이라면 ${\displaystyle \operatorname {cohd} F=-\infty }$이다.

만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 사영 대상을 충분히 가지는 범주일 때, ${\displaystyle F}$의 호몰로지 차원(homology次元,영어: homological dimension)은 다음과 같다.^{[1]:394, Definition 10.5.10}

${\displaystyle \operatorname {hd} F=\sup\{n\in \mathbb {N} \colon \operatorname {L} _{n}F(A)=0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}\}\in \mathbb {N} \sqcup \{-\infty ,+\infty \}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {L} _{n}}$은 ${\displaystyle n}$차 왼쪽 유도 함자를 뜻한다. 만약 ${\displaystyle F=0}$이라면 ${\displaystyle \operatorname {hd} F=-\infty }$이다.

아벨 범주의 대상(가군)의 차원

Ext 함자 및 Tor 함자는 유도 함자의 특수한 경우이다. 이들을 사용하여, 아벨 범주의 대상에 대하여 여러 차원들을 정의할 수 있다.

사영 차원

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상 ${\displaystyle M\in {\mathcal {A}}}$의 사영 차원(射影次元, 영어: projective dimension)

${\displaystyle \operatorname {pd} _{\mathcal {C}}M\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0,-\infty ,+\infty \}}$

은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {pd} _{\mathcal {C}}M=\sup _{N\in {\mathcal {C}}}\{n\colon \operatorname {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(M,N)\neq 0\}}$

여기서 ${\displaystyle \sup _{N\in {\mathcal {C}}}}$은 모든 대상 ${\displaystyle N\in {\mathcal {A}}}$에 대한 상한이며, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}}$는 Ext 함자이다. 만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.

• ${\displaystyle \operatorname {pd} _{\mathcal {C}}M}$은 ${\displaystyle M}$의 사영 분해(영어: projective resolution) ${\displaystyle 0\to P_{n}\to P_{n-1}\to \cdots \to P_{0}\to M\to 0}$ 의 길이 ${\displaystyle n}$들의 하한이다.
• ${\displaystyle \operatorname {pd} _{\mathcal {C}}M=\operatorname {cohd} \hom _{\mathcal {C}}(M,-)}$

특히, 영 대상 ${\displaystyle 0\in {\mathcal {C}}}$의 사영 차원은 ${\displaystyle -\infty }$이다.

단사 차원

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상 ${\displaystyle N\in {\mathcal {A}}}$의 단사 차원(單射次元, 영어: injective dimension)

${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}N\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0,-\infty ,+\infty \}}$

은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}N=\sup _{M\in {\mathcal {C}}}\{n\colon \operatorname {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(M,N)\neq 0\}}$

만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.

• ${\displaystyle \operatorname {pd} _{\mathcal {C}}N}$은 ${\displaystyle M}$의 단사 분해(영어: injective resolution) ${\displaystyle 0\rightarrow Q_{n}\rightarrow Q_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow Q_{0}\rightarrow N\to 0}$의 길이 ${\displaystyle n}$들의 하한이다.
• ${\displaystyle \operatorname {pd} _{\mathcal {C}}N=\operatorname {hd} \hom _{\mathcal {C}}(-,N)}$

특히, 영 대상 ${\displaystyle 0\in {\mathcal {C}}}$의 단사 차원은 ${\displaystyle -\infty }$이다.

평탄 차원

환 ${\displaystyle R}$ 위의 오른쪽 가군 ${\displaystyle M_{R}}$의 평탄 차원(平坦次元, 영어: flat dimension) 또는 약한 차원(弱-次元, 영어: weak dimension)은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {fd} _{R}M=\sup _{N\in {}_{R}\operatorname {Mod} }\{\operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)\neq 0\}}$

마찬가지로, ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}N}$의 평탄 차원 또는 약한 차원은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {fd} _{R}N=\sup _{M\in \operatorname {Mod} _{R}}\{\operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)\neq 0\}}$

이는 ${\displaystyle M}$ 또는 ${\displaystyle N}$의, 평탄 가군으로 구성된 분해의 길이들의 하한과 같다.

아벨 범주(환)의 차원

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대역 차원(大域次元, 영어: global dimension) ${\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}=\sup _{M,N\in {\mathcal {C}}}\{n\colon \operatorname {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(M,N)\neq 0\}=\sup _{M\in {\mathcal {C}}}\operatorname {cohd} (\hom _{\mathcal {C}}(M,-))=\sup _{N\in {\mathcal {C}}}\operatorname {cohd} (\hom _{\mathcal {C}}(-,N))}$

만약 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 단사 차원의 상한과 같다.

${\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}=\sup _{M\in {\mathcal {C}}}\operatorname {id} _{R}M}$

만약 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 사영 차원의 상한과 같다.

${\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}=\sup _{M\in {\mathcal {C}}}\operatorname {pd} _{R}M}$

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 또한, 환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 유한 생성 가군들의 아벨 범주 ${\displaystyle R{\text{-fgMod}}}$는 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. (그러나 이는 일반적으로 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.) 이 두 아벨 범주의 대역 차원은 일치하며, 이를 ${\displaystyle R}$의 왼쪽 대역 차원(영어: left global dimension)이라고 한다.

${\displaystyle \operatorname {gd_{L}} R=\operatorname {gd} R{\text{-Mod}}=\operatorname {gd} R{\text{-fgMod}}}$

마찬가지로, (유한 생성) 오른쪽 가군들의 아벨 범주의 차원을 ${\displaystyle R}$의 오른쪽 대역 차원(영어: right global dimension이라고 한다.

${\displaystyle \operatorname {gd_{R}} R=\operatorname {gd} {\text{Mod-}}R=\operatorname {gd} {\text{fgMod-}}R=\operatorname {gd_{L}} R^{\operatorname {op} }}$

가환환의 경우 물론 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 일치한다. (비가환) (양쪽) 뇌터 환의 경우 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 서로 일치한다. 그러나 이는 일반적인 비가환환에 대하여 성립하지 않는다.

환 ${\displaystyle R}$의 평탄 대역 차원(平坦大域次元, 영어: flat global dimension) 또는 약한 대역 차원(弱-大域次元, 영어: weak global dimension) ${\displaystyle \operatorname {wgd} {\mathcal {C}}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}=\sup _{M\in \operatorname {Mod} _{R},\,N\in {}_{R}\operatorname {Mod} }\{n\colon \operatorname {Tor} _{n}^{K}(M,N)\neq 0\}=\sup _{N\in {}_{R}\operatorname {Mod} }\operatorname {hd} (\otimes N)}$

여기서 ${\displaystyle \otimes N\colon \operatorname {Mod} _{R}\to \operatorname {Ab} }$는 텐서곱 함자이다.

이 개념들 사이의 관계는 다음과 같다.

가군의 차원	사영 차원	단사 차원	평탄 차원
차원을 계산하는 가군 분해	사영 가군 분해	단사 가군 분해	평탄 가군 분해
대응하는 대역 차원	대역 차원		평탄 대역 차원
함자	${\displaystyle \hom(M,-)}$	${\displaystyle \hom(-,M)}$	${\displaystyle \otimes M}$
유도 함자	Ext 함자		Tor 함자

성질

대역 차원

${\displaystyle R}$가 (가환환이 아닐 수 있는) 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {gd_{L}} R=\operatorname {gd_{R}} R=\operatorname {fd} R}$

${\displaystyle R}$가 가환 뇌터 국소환이며, 그 극대 아이디얼이 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$이라면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {gd} R=\operatorname {pd} R/{\mathfrak {m}}}$

가환 뇌터 국소환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 대역 차원이 유한하다.
• 정칙 국소환이다.

또한, 가환 뇌터 정칙 국소환의 경우 대역 차원은 크룰 차원과 같다.

오슬랜더-북스바움 공식

 이 부분의 본문은 가군의 깊이입니다.

${\displaystyle R}$가 가환 뇌터 국소환이며, 그 극대 아이디얼이 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$이며, ${\displaystyle M}$이 ${\displaystyle R}$ 위의 유한 생성 아이디얼이며, 그 사영 차원이 유한하다고 하자. 그렇다면, 사영 차원과 가군의 깊이 사이에는 다음이 성립한다 (오슬랜더-북스바움 공식 영어: Auslander–Buchsbaum formula).^{[2]:Theorem 3.7}

${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M+\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}M=\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}R}$

예

체

체 ${\displaystyle K}$ 위의 가군은 벡터 공간 ${\displaystyle V}$이며, 이 경우 모든 가군이 단사 가군이자 사영 가군이다. 따라서, 양의 차원의 모든 벡터 공간의 사영 차원 · 단사 차원 · 평탄 차원이 0이다.

${\displaystyle \operatorname {pd} _{K}V=\operatorname {id} _{K}V=\operatorname {fd} _{K}V={\begin{cases}0&V\neq 0\\-\infty &V=0\end{cases}}}$

따라서, 체의 대역 차원과 평탄 대역 차원은 항상 0이다.

${\displaystyle \operatorname {gd} K=\operatorname {fgd} K=0}$

체는 가환 뇌터 정칙 국소환이므로, 체의 크룰 차원 역시 0이다. (이는 체의 스펙트럼이 한원소 공간이므로 자명하게 알 수 있다.)

주 아이디얼 정역

${\displaystyle R}$가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 정리가 성립한다.

• 주 아이디얼 정역 위의 자유 가군의 부분 가군은 항상 자유 가군이다.

  따라서, 임의의 ${\displaystyle R}$-가군 ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle M=F/G}$와 같은 꼴(${\displaystyle F}$와 ${\displaystyle G}$는 자유 가군)로 표현될 수 있다.

• 주 아이디얼 정역 위의 모든 사영 가군은 자유 가군이다. (이는 유한 생성 가군 조건이 없이도 성립한다.)

이에 따라, 주 아이디얼 정역 위의 가군 ${\displaystyle M}$의 사영 차원과 평탄 차원은 다음과 같다.

	사영 차원 ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M}$	평탄 차원 ${\displaystyle \operatorname {fd} _{R}M}$
영가군 ${\displaystyle 0}$	−∞	−∞
영가군이 아닌 자유 가군	0	0
자유 가군이 아닌 평탄 가군	1	0
평탄 가군이 아닌 가군	1	1

특히, 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 대역 차원은 1이다.

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위의 가군은 아벨 군 ${\displaystyle G}$이다. 정수환 위의 사영 가군 및 평탄 가군은 자유 아벨 군이며, 정수환 위의 단사 가군은 나눗셈군이다.

마찬가지로, 대역 차원이 1이므로, 주 아이디얼 정역 위의 모든 가군의 단사 차원은 다음과 같다.

	단사 차원 ${\displaystyle \operatorname {id} _{R}M}$
영가군	−∞
영가군이 아닌 단사 가군	0
단사 가군이 아닌 가군	1

자명환

자명환 ${\displaystyle 0}$ 위의 모든 가군은 자명군이다. 따라서, 그 대역 차원과 평탄 대역 차원은 ${\displaystyle -\infty }$이다.

다항식환

힐베르트 삭망 정리(Hilbert朔望定理, 영어: Hilbert’s syzygy theorem)에 따르면, ${\displaystyle R}$가 뇌터 가환환이며, 그 대역 차원이 유한하다면, ${\displaystyle \operatorname {gd} R[x]=\operatorname {gd} R+1}$이다.

뇌터 가환환 위의 다항식환은 물론 뇌터 가환환이므로, 이를 반복하면 다음을 얻는다.

${\displaystyle \operatorname {gd} R[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]=\operatorname {gd} R+n}$

특히, 체 ${\displaystyle K}$ 위의 다항식환 ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$의 대역 차원은 ${\displaystyle n}$이다. 또한, 이 경우, 모든 가군은 길이 ${\displaystyle n}$ 이하의 자유 가군으로 구성된 사영 분해를 갖는다.

역사

힐베르트 삭망 정리는 체의 경우 다비트 힐베르트가 1890년에 증명하였다.^{[3]:492, Theorem Ⅲ}