호프-리노우 정리

호프-리노우 정리(영어: Hopf–Rinow theorem)는 리만 다양체의 측지선 완비성에 대한 일련의 진술이다. 그것은 1931년에 그것을 출판한 하인츠 호프와 그의 제자 빌리 리노우의 이름을 따서 명명됐다.^[1] Stefan Cohn-Vossen은 호프-리노우 정리의 일부를 특정 유형의 계량 공간의 맥락으로 확장했다.

진술

${\displaystyle (M,g)}$를 매끄러운 연결 리만 다양체라 하자. 그러면, 다음 명제들은 동치이다.^[2]

1. ${\displaystyle M}$의 닫힌 유계 부분집합은 콤팩트 하다.
2. ${\displaystyle M}$이 완비 계량 공간이다.
3. ${\displaystyle M}$이 측지 완비다. 즉, 각 ${\displaystyle p\in M,}$ 지수 사상 exp_p는 전체 접공간 ${\displaystyle \operatorname {T} _{p}M.}$에서 정의된다.

또한, 위의 어느 하나는 주어진 두 점이 ${\displaystyle p,q\in M,}$ 이 두 지점을 연결하는 측지선을 극소화하는 길이가 존재한다(측지선은 일반적으로 길이 함수에 대한 임계점이며 최소값일 수도 있고 아닐 수도 있다).

호프-리노우 정리에서 완비성의 첫 번째 특성화는 순전히 다양체의 위상과 다양한 집합의 경계를 다룬다. 두 번째는 변분법 (즉 길이 함수의 극소화)에서 특정 문제에 대한 극소점의 존재를 다룬다. 세 번째는 특정 연립 상미분방정식에 대한 해의 특성을 다룬다.

변형 및 일반화

• 호프-리노우 정리는 다음과 같은 방법으로 길이 거리 공간에 일반화된다.
  • 길이 거리 공간이 완비 국소 콤팩트이면 두 점을 극소화 측지선으로 연결할 수 있으며 경계가 있는 닫힌 집합은 모두 콤팩트이다.

실제로 이러한 성질은 국소 콤팩트 길이 거리 공간에 대한 완비성을 특징으로 한다.^[3]

• 이 정리는 무한 차원 다양체에는 적용되지 않는다. 분리 가능한 힐베르트 공간의 단위 구는 대척점이 길이를 최소화하는 측지선으로 결합될 수 없는 방식으로 힐베르트 다양체의 구조를 부여받을 수 있다. 최소화 여부에 관계없이 두 지점이 측지선으로 결합된다는 것이 자동적으로 참이 아니라는 것이 나중에 관찰됐다.^[4]
• 이 정리는 또한 로런츠 다양체에 일반화되지 않는다. Clifton-Pohl 원환은 콤팩트하지만 완비가 아닌 예(2차원 원환에 대한 미분동형사상)를 제공한다.