일반화

보다 일반적으로, 결합 나눗셈 대수 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (${\displaystyle \dim K=k}$)에 대하여, ${\displaystyle \mathbb {K} }$-사영 공간에 대한 주다발

${\displaystyle \mathbb {S} ^{k-1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{k(n+1)-1}\twoheadrightarrow \mathbb {KP} ^{n}}$

을 정의할 수 있다. 이는 각각 다음과 같다.

• 실수: ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {RP} ^{n}}$. 이는 2차 순환군 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}=\operatorname {Cyc} (2)}$에 대한 주다발이다.
• 복소수: ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {CP} ^{n}}$. 이는 원군 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\operatorname {U} (1)}$에 대한 주다발이다.
• 사원수: ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{2n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {HP} ^{n}}$. 이는 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}=}$SU(2)에 대한 주다발이다.

마찬가지로, 두 나눗셈 대수의 포함 관계 ${\displaystyle \mathbb {K} \subsetneq \mathbb {L} }$에 대하여, ${\displaystyle \dim \mathbb {L} /\dim \mathbb {K} =p}$, ${\displaystyle \dim \mathbb {L} =l}$일 때, 올다발

${\displaystyle \mathbb {KP} ^{p-1}\hookrightarrow \mathbb {KP} ^{p(n+1)-1}\twoheadrightarrow \mathbb {LP} ^{n}}$

을 정의할 수 있다.

• 실수 ⊂ 복소수: ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\mathbb {RP} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {RP} ^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {CP} ^{n}}$. 이는 원군에 대한 주다발이다.
• 복소수 ⊂ 사원수: ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {CP} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {CP} ^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {HP} ^{n}}$. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$에는 리 군 구조가 존재하지 않으므로, 이는 주다발이 아닌 올다발이다.
  • 특히, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\hookrightarrow \mathbb {CP} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{4}=\mathbb {HP} ^{1}}$는 콤팩트화 4차원 시공간과 트위스터 공간 사이의 관계이다.
• 실수 ⊂ 사원수: ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {RP} ^{4n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {HP} ^{n}}$. 이는 ${\displaystyle \operatorname {RP} ^{3}=\operatorname {SO} (3)}$에 대한 주다발이다.

반면, 이는 팔원수의 부분 나눗셈 대수에 대해서는 정의할 수 없다.^[1]