홈플리 다항식

매듭 이론에서 홈플리 다항식(HOMFLY多項式, 영어: HOMFLY polynomial)은 유향 연환에 대하여 정의되는 2변수 다항식 불변량이다.^[1]

정의

홈플리 다항식은 모든 유향 연환

${\displaystyle K\colon (\mathbb {S} ^{1})^{\sqcup n}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}}$

에 대하여 정의되는, 두 변수 ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle z}$에 대한 정수 계수 다항식

${\displaystyle P_{K}(\alpha ,z)\in \mathbb {Z} [\alpha ,\alpha ^{-1},z,z^{-1}]}$

이며, 다음과 같은 두 조건으로 유일하게 결정된다.

• (임의의 방향이 주어진) 자명한 매듭 ${\displaystyle \bigcirc }$에 대하여, ${\displaystyle P_{\bigcirc }(\alpha ,z)=1}$
• (타래 관계 영어: skein relation) 임의의 연환 그림의 한 부분을 국소적으로 수정하여, 다음과 같은 세 연환 ${\displaystyle L_{+}}$, ${\displaystyle L_{-}}$, ${\displaystyle L_{0}}$를 정의하였다고 하자.

  

그렇다면, 이들의 홈플리 다항식은 다음과 같은 관계를 갖는다.

${\displaystyle \alpha P_{L_{+}}(\alpha ,z)-\alpha ^{-1}P_{L_{-}}(\alpha ,z)=zP_{L_{0}}(\alpha ,z)}$

존스 다항식과 알렉산더 다항식

홈플리 다항식으로부터, 다음과 같은 두 다항식을 정의할 수 있다.

• 존스 다항식(영어: Jones polynomial): ${\displaystyle V_{L}(q)=P_{L}(q^{-1},q^{1/2}-q^{-1/2})}$
• 알렉산더 다항식(영어: Alexander polynomial): ${\displaystyle \Delta _{L}(q)=P_{L}(1,q^{1/2}-q^{-1/2})}$

성질

홈플리 다항식 ${\displaystyle P_{L}(\alpha ,z)\in \mathbb {Z} [\alpha ,\alpha ^{-1},z,z^{-1}]}$은 정수 계수 로랑 다항식이다. 또한, 존스 다항식과 알렉산더 다항식

${\displaystyle V_{L}(q)=P_{L}(q^{-1},q^{1/2}-q^{-1/2})\in \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]}$

${\displaystyle \Delta _{L}(q)=P_{L}(1,q^{1/2}-q^{-1/2})\in \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]}$

은 ${\displaystyle q^{1/2}}$에 대한 정수 계수 로랑 다항식이다.

연산과의 호환성

홈플리 다항식은 매듭의 연결합에 대하여 곱셈적이다. 즉, 임의의 두 유향 매듭 ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle K'}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle P_{K\#K'}(\alpha ,z)=P_{K}(\alpha ,z)P_{K'}(\alpha ,z)}$

서로 얽히지 않은 두 성분으로 구성된 연환 ${\displaystyle L=L_{1}\sqcup L_{2}}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle P_{L_{1}\sqcup L_{2}}(\alpha ,z)={\frac {\alpha -\alpha ^{-1}}{z}}P_{L_{1}}(\alpha ,z)P_{L_{2}}(\alpha ,z)}$

유향 연환 ${\displaystyle L\colon (\mathbb {S} ^{1})^{\sqcup n}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}}$의 거울 대칭을

${\displaystyle {\bar {L}}=\iota \circ L}$

${\displaystyle \iota \colon \mathbb {S} ^{3}\to \mathbb {S} ^{3}}$

이라고 할 때, 다음이 성립한다.

${\displaystyle P_{\bar {L}}(\alpha ,z)=P_{L}(-\alpha ^{-1},z)}$

즉, 홈플리 다항식은 거울 대칭 매듭을 구별할 수 있다.

매듭의 홈플리 다항식은 선택한 방향에 의존하지 않는다. 보다 일반적으로, 유향 연환에서, 모든 연결 성분의 방향을 동시에 뒤집으면, 홈플리 다항식은 바뀌지 않는다.

천-사이먼스 이론과의 관계

 이 부분의 본문은 천-사이먼스 이론입니다.

홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리의 기댓값으로 주어진다.^[2]

구체적으로, 3차원 초구 위의, 준위 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$의 ${\displaystyle \operatorname {SU} (N)}$ 천-사이먼스 이론을 생각하자. 이제, 초구 속의 유향 연환 ${\displaystyle L}$에 대한, ${\displaystyle N}$차원 정의 표현(영어: defining representation)에서 취한 윌슨 고리 연산자의 (정규화) 상관 함수는 다음과 같이, 홈플리 다항식으로 주어진다.^{[2]:382, (4.22–4.23)}

${\displaystyle \left\langle \operatorname {tr} \oint _{L}A\right\rangle ={\frac {\alpha -\alpha ^{-1}}{z}}P_{L}(\alpha ,z)}$

${\displaystyle q=\exp {\frac {2\pi \mathrm {i} }{N+k}}}$

${\displaystyle z=q^{1/2}-q^{-1/2}}$

${\displaystyle \alpha =q^{N/2}}$

예

간단한 매듭들의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

매듭	홈플리 다항식
공집합 (0개 연결 성분의 연환)	${\displaystyle z/(\alpha -\alpha ^{-1})}$
자명한 매듭 01	1
${\displaystyle n}$개 연결 성분의 자명한 연환	${\displaystyle (\alpha -\alpha ^{-1})^{n-1}/z^{n-1}}$
세잎매듭 31 (왼손)	${\displaystyle 2\alpha ^{2}-\alpha ^{4}+\alpha z^{2}}$
세잎매듭 31 (오른손)	${\displaystyle 2\alpha ^{-2}-\alpha ^{-4}+\alpha ^{-2}z^{2}}$
8자 모양 매듭 41	${\displaystyle -1+\alpha ^{2}+\alpha ^{-2}-z^{2}}$
호프 연환 ${\displaystyle 2_{1}^{1}}$ (연환수 +1)	${\displaystyle -\alpha ^{-3}z^{-1}+\alpha ^{-1}z+\alpha ^{-1}z^{-1}}$
호프 연환 ${\displaystyle 2_{1}^{1}}$ (연환수 −1)	${\displaystyle \alpha ^{3}z^{-1}-\alpha z-\alpha z^{-1}}$

타래 관계의 예

자명한 연환

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.

${\displaystyle L_{+}}$	${\displaystyle L_{-}}$	${\displaystyle L_{0}}$
자명한 매듭 ${\displaystyle 0_{1}}$	자명한 매듭 ${\displaystyle 0_{1}}$	자명한 연환 ${\displaystyle 0_{1}\sqcup 0_{1}}$

그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \alpha -\alpha ^{-1}=zP_{0_{1}\sqcup 0_{1}}(\alpha ,z)}$

즉, 2개 성분의 자명한 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{0_{1}\sqcup 0_{1}}(\alpha ,z)={\frac {\alpha -\alpha ^{-1}}{z}}}$

호프 연환

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.

${\displaystyle L_{+}}$	${\displaystyle L_{-}}$	${\displaystyle L_{0}}$
호프 연환 ${\displaystyle 2_{1}^{1}}$ (연환수 +1)	자명한 연환 ${\displaystyle 0_{1}\sqcup 0_{1}}$	자명한 매듭 ${\displaystyle 0_{1}}$

그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle \alpha P_{2_{1}^{1}}(\alpha ,z)-\alpha ^{-1}\left({\frac {\alpha -\alpha ^{-1}}{z}}\right)=z}$

즉, 호프 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{2_{1}^{1}}(\alpha ,z)=\alpha ^{-1}z+\alpha ^{-1}z^{-1}-\alpha ^{-3}z^{-1}}$

만약 호프 연환의 두 성분 가운데 하나의 방향을 바꾼다면, 거울 대칭이 되어 ${\displaystyle \alpha \mapsto -\alpha ^{-1}}$가 되며,

${\displaystyle P_{2_{1}^{1}}(\alpha ,z)=-\alpha z-\alpha z^{-1}+\alpha ^{3}z^{-1}}$

를 얻는다.

유향 연환
연환수	+1	−1
홈플리 다항식	${\displaystyle \alpha ^{-1}z+\alpha ^{-1}z^{-1}-\alpha ^{-3}z^{-1}}$	${\displaystyle -\alpha z-\alpha z^{-1}+\alpha ^{3}z^{-1}}$

세잎매듭

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.

${\displaystyle L_{+}}$	${\displaystyle L_{-}}$	${\displaystyle L_{0}}$
세잎매듭 ${\displaystyle 3_{1}}$	자명한 매듭 ${\displaystyle 0_{1}}$	호프 연환 ${\displaystyle 2_{1}^{1}}$ (연환수 +1)

이에 따라 타래 관계는

${\displaystyle \alpha P_{3_{1}}(\alpha ,z)-\alpha ^{-1}=z\left(\alpha ^{-1}z+\alpha ^{-1}z^{-1}-\alpha ^{-3}z^{-1}\right)}$

이다. 즉,

${\displaystyle P_{3_{1}}(\alpha ,z)=2\alpha ^{-2}-\alpha ^{-4}+\alpha ^{-2}z^{2}}$

이다. 물론, 그 거울 대칭을 취하면

${\displaystyle P_{3_{1}}(\alpha ,z)=2\alpha ^{2}-\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}}$

이다.

매듭
이름	왼손 세잎매듭	오른손 세잎매듭
홈플리 다항식	${\displaystyle 2\alpha ^{2}-\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}}$	${\displaystyle 2\alpha ^{-2}-\alpha ^{-4}+\alpha ^{-2}z^{2}}$

홈플리 다항식이 방향을 구별하지 못하는 매듭

매듭 9₄₂은 스스로의 거울 대칭과 다르지만, 이 두 매듭은 같은 홈플리 다항식을 갖는다 (즉, 홈플리 다항식은 이 경우 거울 대칭을 구별하지 못한다).^[3] 매듭 10₇₁의 경우도 마찬가지다.^[3]

역사

제임스 워델 알렉산더가 1923년에 알렉산더 다항식을 발견하였다. 1969년에 존 호턴 콘웨이가 알렉산더 다항식이 타래 관계를 통해 정의될 수 있음을 보였다. 이후 1984년에 본 존스가 존스 다항식을 발견하였다.^[4]

1985년에 이들의 일반화인 홈플리 방정식을 피터 존 프라이드(영어: Peter John Freyd, 1936~) · 데이비드 예터(영어: David N. Yetter) · 짐 호스트(영어: Jim Hoste) · 윌리엄 버나드 레이먼드 리커리시(영어: William Bernard Raymond Lickorish, 1938~) · 케네스 밀렛(영어: Kenneth Millett, 1941~) · 아드리안 오크네아누(루마니아어: Adrian Ocneanu)가 공동으로 발견하였다.^[5] “홈플리”(영어: HOMFLY)라는 이름은 이를 발견한 6인의 머리글자(FYHLMO)를 발음할 수 있게 재배열한 것이다.

거의 동시에 유제프 헨리크 프시티츠키(폴란드어: Józef Henryk Przytycki, 1953~)와 파베우 트라치크(폴란드어: Paweł Traczyk)가 같은 다항식을 발견하였으나, 2년 늦게 출판하였다.^[6] 이 때문에 홈플리 다항식은 간혹 “홈플리-PT 다항식”(영어: HOMFLY–PT polynomial) 또는 “플립모스 다항식”(영어: FLYPMOTH polynomial) 따위로 불리기도 한다.

이후 1989년에 에드워드 위튼이 홈플리 다항식과 천-사이먼스 이론 사이의 관계를 발견하였다.^[2]