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홈플리 다항식

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매듭 이론에서 홈플리 다항식(HOMFLY多項式, 영어: HOMFLY polynomial)은 유향 연환에 대하여 정의되는 2변수 다항식 불변량이다.[1]

정의

요약
관점

홈플리 다항식은 모든 유향 연환

에 대하여 정의되는, 두 변수 , 에 대한 정수 계수 다항식

이며, 다음과 같은 두 조건으로 유일하게 결정된다.

  • (임의의 방향이 주어진) 자명한 매듭 에 대하여,
  • (타래 관계 영어: skein relation) 임의의 연환 그림의 한 부분을 국소적으로 수정하여, 다음과 같은 세 연환 , , 를 정의하였다고 하자.
    Thumb
그렇다면, 이들의 홈플리 다항식은 다음과 같은 관계를 갖는다.

존스 다항식과 알렉산더 다항식

홈플리 다항식으로부터, 다음과 같은 두 다항식을 정의할 수 있다.

  • 존스 다항식(영어: Jones polynomial):
  • 알렉산더 다항식(영어: Alexander polynomial):
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성질

요약
관점

홈플리 다항식 은 정수 계수 로랑 다항식이다. 또한, 존스 다항식과 알렉산더 다항식

에 대한 정수 계수 로랑 다항식이다.

연산과의 호환성

홈플리 다항식은 매듭의 연결합에 대하여 곱셈적이다. 즉, 임의의 두 유향 매듭 , 에 대하여, 다음이 성립한다.

서로 얽히지 않은 두 성분으로 구성된 연환 에 대하여, 다음이 성립한다.

유향 연환 의 거울 대칭을

이라고 할 때, 다음이 성립한다.

즉, 홈플리 다항식은 거울 대칭 매듭을 구별할 수 있다.

매듭의 홈플리 다항식은 선택한 방향에 의존하지 않는다. 보다 일반적으로, 유향 연환에서, 모든 연결 성분의 방향을 동시에 뒤집으면, 홈플리 다항식은 바뀌지 않는다.

천-사이먼스 이론과의 관계

홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론윌슨 고리의 기댓값으로 주어진다.[2]

구체적으로, 3차원 초구 위의, 준위 천-사이먼스 이론을 생각하자. 이제, 초구 속의 유향 연환 에 대한, 차원 정의 표현(영어: defining representation)에서 취한 윌슨 고리 연산자의 (정규화) 상관 함수는 다음과 같이, 홈플리 다항식으로 주어진다.[2]:382, (4.22–4.23)

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요약
관점

간단한 매듭들의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

자세한 정보 , ...

타래 관계의 예

자명한 연환

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.

자명한 매듭 자명한 매듭 자명한 연환

그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.

즉, 2개 성분의 자명한 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

호프 연환

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.

호프 연환 (연환수 +1)자명한 연환 자명한 매듭

그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.

즉, 호프 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

만약 호프 연환의 두 성분 가운데 하나의 방향을 바꾼다면, 거울 대칭이 되어 가 되며,

를 얻는다.

자세한 정보 , ...

세잎매듭

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.

세잎매듭 자명한 매듭 호프 연환 (연환수 +1)

이에 따라 타래 관계는

이다. 즉,

이다. 물론, 그 거울 대칭을 취하면

이다.

자세한 정보 , ...

홈플리 다항식이 방향을 구별하지 못하는 매듭

매듭 942은 스스로의 거울 대칭과 다르지만, 이 두 매듭은 같은 홈플리 다항식을 갖는다 (즉, 홈플리 다항식은 이 경우 거울 대칭을 구별하지 못한다).[3] 매듭 1071의 경우도 마찬가지다.[3]

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역사

제임스 워델 알렉산더가 1923년에 알렉산더 다항식을 발견하였다. 1969년에 존 호턴 콘웨이가 알렉산더 다항식이 타래 관계를 통해 정의될 수 있음을 보였다. 이후 1984년에 본 존스가 존스 다항식을 발견하였다.[4]

1985년에 이들의 일반화인 홈플리 방정식을 피터 존 프라이드(영어: Peter John Freyd, 1936~) · 데이비드 예터(영어: David N. Yetter) · 짐 호스트(영어: Jim Hoste) · 윌리엄 버나드 레이먼드 리커리시(영어: William Bernard Raymond Lickorish, 1938~) · 케네스 밀렛(영어: Kenneth Millett, 1941~) · 아드리안 오크네아누(루마니아어: Adrian Ocneanu)가 공동으로 발견하였다.[5] “홈플리”(영어: HOMFLY)라는 이름은 이를 발견한 6인의 머리글자(FYHLMO)를 발음할 수 있게 재배열한 것이다.

거의 동시에 유제프 헨리크 프시티츠키(폴란드어: Józef Henryk Przytycki, 1953~)와 파베우 트라치크(폴란드어: Paweł Traczyk)가 같은 다항식을 발견하였으나, 2년 늦게 출판하였다.[6] 이 때문에 홈플리 다항식은 간혹 “홈플리-PT 다항식”(영어: HOMFLY–PT polynomial) 또는 “플립모스 다항식”(영어: FLYPMOTH polynomial) 따위로 불리기도 한다.

이후 1989년에 에드워드 위튼이 홈플리 다항식과 천-사이먼스 이론 사이의 관계를 발견하였다.[2]

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각주

외부 링크

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