회전면

회전면(surface of revolution)은 유클리드 공간에서 곡선 (생성선)을 회전축 (일반적으로 끝점을 제외하고는 생성선과 교차하지 않음)을 중심으로 한 바퀴 회전시켜 생성되는 곡면이다.^[1] 이 회전으로 생성된 곡면으로 둘러싸인 부피는 회전체이다.

곡선 x = 2 + cos(z)의 일부가 z-축을 중심으로 회전한 모습

대각선 중 하나와 평행한 축을 중심으로 회전하는 정사각형으로 형성된 원환면

직선으로 생성된 회전면의 예로는 직선이 축에 평행한지 여부에 따라 원기둥 및 원추표면이 있다. 지름 주위로 회전하는 원은 대원이 되는 구를 생성하고, 원의 내부와 교차하지 않는 축 주위로 원이 회전하면 자체적으로 교차하지 않는 원환면 (환형 원환면)을 생성한다.

속성

축을 통과하는 평면에 의해 생성된 회전면의 단면을 자오선 단면이라고 한다. 모든 자오선 단면은 그 단면과 축에 의해 결정되는 평면의 생성선으로 간주될 수 있다.^[2]

축에 수직인 평면에 의해 생성된 회전면의 단면은 원이다.

쌍곡면 (한 장 또는 두 장)과 타원 포물면의 일부 특수한 경우는 회전면이다. 이들은 축에 수직인 모든 단면이 원형인 2차 곡면으로 식별될 수 있다.

넓이 공식

곡선이 매개변수 함수 x(t), y(t)로 설명되고, t가 어떤 구간 [a,b]에 걸쳐 있으며, 회전축이 y-축인 경우, 겉넓이 A_y는 다음 적분으로 주어진다. $${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,}$$ 이때 x(t)는 끝점 a와 b 사이에서 음수가 아니다. 이 공식은 파푸스의 중심 정리의 미적분학적 등가물이다.^[3] 다음 양 $${\displaystyle {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt}$$ 은 피타고라스 정리에서 유래하며, 곡선의 길이 공식에서처럼 곡선 호의 작은 부분이다. 양 2πx(t)는 파푸스의 정리에 따라 이 작은 부분 (의 무게중심)의 경로이다.

마찬가지로, 회전축이 x-축이고 y(t)가 음수가 아닌 경우, 넓이는 다음으로 주어진다.^[4] $${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}$$

연속 곡선이 함수 y = f(x), a ≤ x ≤ b로 설명되면, 적분은 다음과 같다. $${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx}$$ x-축을 중심으로 회전하는 경우, 그리고 $${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}$$ y-축을 중심으로 회전하는 경우 (a ≥ 0일 때). 이 공식들은 위 공식에서 파생된다.^[5]

이것은 다변수 적분에서도 유도할 수 있다. 평면 곡선이 ${\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle }$로 주어지면, x-축을 중심으로 회전할 때 해당하는 회전면은 ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$인 ${\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle }$로 주어진 데카르트 좌표를 갖는다. 그러면 표면적은 면적분으로 주어진다. $${\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}$$

편미분을 계산하면 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\rangle }$$ 이고, 벡터곱을 계산하면 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle }$$ 여기서 삼각 함수 항등식 ${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$이 사용되었다. 이 벡터곱으로 다음을 얻는다. $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}$$ 여기서 같은 삼각 함수 항등식이 다시 사용되었다. y-축을 중심으로 회전하여 얻은 표면의 유도도 비슷하다.

예를 들어, 단위 반경의 구면은 t가 [0,π] 범위에 있을 때 곡선 y(t) = sin(t), x(t) = cos(t)에 의해 생성된다. 따라서 넓이는 다음과 같다. $${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}$$

반경 r의 구형 곡선, y(x) = √r² − x²가 x-축 주위로 회전하는 경우 $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}$$

최소 회전면은 주어진 두 점 사이의 곡선 중 표면적을 최소화하는 곡선의 회전면이다.^[6] 변분법의 기본 문제는 이 최소 회전면을 생성하는 두 점 사이의 곡선을 찾는 것이다.^[6]

회전면인 동시에 최소 곡면인 최소 회전면은 평면과 현수면의 두 가지뿐이다.^[7]

좌표 표현

${\displaystyle y=f(x)}$로 설명되는 곡선을 x-축을 중심으로 회전하여 생성된 회전면은 ${\displaystyle y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}}$으로 가장 간단하게 설명될 수 있다. 이는 ${\displaystyle x}$와 ${\displaystyle \theta }$에 대한 매개변수화로 ${\displaystyle (x,f(x)\cos(\theta ),f(x)\sin(\theta ))}$를 생성한다. 만약 대신 y-축을 중심으로 곡선을 회전시킨다면, 곡선은 ${\displaystyle y=f({\sqrt {x^{2}+z^{2}}})}$로 설명되며, 매개변수 ${\displaystyle x}$와 ${\displaystyle \theta }$에 대해 ${\displaystyle (x\cos(\theta ),f(x),x\sin(\theta ))}$라는 표현을 생성한다.

x와 y가 매개변수 ${\displaystyle t}$로 정의되면, 우리는 ${\displaystyle t}$와 ${\displaystyle \theta }$에 대한 매개변수화를 얻는다. 만약 ${\displaystyle x}$와 ${\displaystyle y}$가 ${\displaystyle t}$의 함수라면, 곡선을 x-축을 중심으로 회전하여 얻은 회전면은 ${\displaystyle (x(t),y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ))}$로 설명되고, y-축을 중심으로 회전하여 얻은 회전면은 ${\displaystyle (x(t)\cos(\theta ),y(t),x(t)\sin(\theta ))}$로 설명된다.

측지선

자오선은 항상 회전면의 측지선이다. 다른 측지선은 클레로 관계식의 지배를 받는다.^[8]

원환체

 이 부분의 본문은 원환체입니다.

정사각형으로 생성된 원환체

회전축이 표면과 교차하지 않는 구멍이 있는 회전면을 원환체라고 한다.^[9] 예를 들어, 직사각형을 한 변과 평행한 축을 중심으로 회전시키면 속이 빈 사각형 단면의 고리가 생성된다. 회전하는 도형이 원이면 그 물체를 원환면이라고 한다.

같이 보기

• 채널 곡면: 회전면의 일반화
• 원통형 대칭
• 가브리엘의 뿔
• 일반화된 헬리코이드
• 레몬 (기하학): 원호의 회전면
• 리오빌 곡면: 회전면의 또 다른 일반화
• 회전타원면
• 면적분
• 평행이동 곡면 (미분기하학)