힐베르트 스킴

대수기하학에서, 힐베르트 스킴(영어: Hilbert scheme)은 어떤 스킴의 부분 스킴들의 모듈라이 공간인 스킴이다. 모든 사영 대수다양체는 힐베르트 스킴을 가진다. 이 경우, 섬세한 모듈러스 공간의 정의에서, 부분 스킴의 족은 평탄 사상을 뜻한다. 평탄 사상의 올들은 같은 힐베르트 다항식을 가지므로, 힐베르트 스킴은 각 힐베르트 다항식에 대응하는 성분들로 분해된다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 스킴 ${\displaystyle K}$
• 스킴 ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle X}$ 및 스킴 사상 ${\displaystyle T\to K\leftarrow X}$. 즉, ${\displaystyle S/K}$와 ${\displaystyle X/K}$는 ${\displaystyle K}$ 위의 스킴이며, 조각 범주 ${\displaystyle \operatorname {Sch} /K}$의 대상이다.

그렇다면, ${\displaystyle K}$ 위의, 매개 변수 공간 ${\displaystyle S}$에 대한 ${\displaystyle X}$의 부분 스킴의 족(영어: family of subschemes of ${\displaystyle X}$ parametrized by ${\displaystyle S}$)은 닫힌 부분 스킴

${\displaystyle Y\subseteq X\times _{K}S}$

가운데, 표준적 ${\displaystyle K}$-스킴 사상

${\displaystyle Y/K\to S/K}$

이 평탄 사상인 것이다. ${\displaystyle S}$에 대한 ${\displaystyle X}$의 부분 스킴의 족의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X/K}(S)}$라고 하자.

${\displaystyle K}$-스킴 사상 ${\displaystyle f\colon S'/K\to S/K}$ 및 ${\displaystyle S}$ 위의 부분 스킴의 족 ${\displaystyle Y\subseteq X\times _{K}S}$이 주어졌을 때, 사상

${\displaystyle (X,f)\colon X\times _{K}S'\to X\times _{K}S}$

아래 ${\displaystyle X}$의 원상

${\displaystyle Y'\subseteq X\times _{K}S'}$

을 정의할 수 있다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X/K}}$는

• ${\displaystyle K}$ 위의 조각 범주의 반대 범주 ${\displaystyle (\operatorname {Sch} /K)^{\operatorname {op} }}$에서
• 집합과 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$로 가는

함자를 정의한다. 즉, 이는 ${\displaystyle \operatorname {Sch} /K}$ 위의 준층이다.

만약 이 함자가 표현 가능 함자라면, 이를 표현하는 스킴을 ${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{n}}}$이라고 한다. 즉, 표준적으로

${\displaystyle \hom _{\operatorname {Sch} /K}(S,\operatorname {Hilb} _{X/K})=\operatorname {Hilb} _{X/K}(S)}$

이다.

물론, ${\displaystyle K=\operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$로 놓아, 절대적 힐베르트 스킴을 정의할 수 있다. 이 경우

${\displaystyle \hom _{\operatorname {Sch} }(S,\operatorname {Hilb} _{X})=\operatorname {Hilb} _{X}(S)}$

이다.

성질

존재

만약 ${\displaystyle S}$가 국소 뇌터 스킴이며, ${\displaystyle X/S}$가 사영 스킴이라면, ${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X/S}}$가 존재한다.

특히, 정수 계수의 사영 공간

${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}=\operatorname {Proj} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$

은 힐베르트 스킴을 갖는다.

반면, 힐베르트 스킴을 갖지 않는 대수다양체가 존재한다. 구체적으로, 히로나카 헤이스케는 사영 대수다양체가 아닌 어떤 복소수 비특이 완비 대수다양체 ${\displaystyle X}$에 대하여, 대수 공간 ${\displaystyle X^{2}/\operatorname {Sym} (2)}$가 스킴으로서 존재하지 않음을 보였으며, 이에 따라 모듈러스 공간 ${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X}(2)}$는 스킴이 아니다.

힐베르트 다항식으로의 분해

${\displaystyle K}$가 국소 뇌터 스킴이며, ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{K}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times K}$가 ${\displaystyle K}$ 계수의 사영 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 ${\displaystyle K}$-부분 스킴에 대하여 힐베르트 다항식을 정의할 수 있다. 이는 유리수 계수 다항식이다.

평탄 스킴 족의 올들은 같은 힐베르트 다항식을 갖는다. 따라서, 힐베르트 스킴은 각 힐베르트 다항식에 대한 성분들의 분리합집합이다.

${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}=\bigsqcup _{p\in \mathbb {Q} [x]}\operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}(p)}$

즉, 각 유리수 계수 다항식 ${\displaystyle p\in \mathbb {Q} [x]}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{K}^{n}/K}(p)}$는 힐베르트 다항식이 ${\displaystyle p}$인 닫힌 부분 스킴의 모듈라이 공간이다.

사영 공간의 힐베르트 스킴의 구성

정수 계수 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}$의 힐베르트 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}}$은 다음과 같이 구체적으로 구성된다.

다항식 ${\displaystyle p\in \mathbb {Q} [t]}$의 고츠만 수(Gotzmann數, 영어: Gotzmann number)는 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 ${\displaystyle D}$이다.

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$의 임의의 포화 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$, ${\displaystyle {\mathfrak {I}}=\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }({\mathfrak {I}}:(x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n})^{i})}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$의 힐베르트 다항식이 ${\displaystyle p}$라면, ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$는 ${\displaystyle D}$차 이하의 생성원만으로부터 생성될 수 있다.

힐베르트 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{n}}(p)}$는 구체적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{n}}(p)=\left\{(V,W)\in \operatorname {Grass} \left({\binom {n+D}{n}}-p(D),\mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}\right)\times \operatorname {Grass} \left({\binom {n+D}{n}}-p(D),\mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}\right)\colon \forall i\colon x_{i}V\subseteq W\right\}}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {Grass} (a,V)}$는 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 속의 ${\displaystyle a}$차원 부분 벡터 공간의 모듈라이 공간인 그라스만 다양체이다.
• ${\displaystyle D\in \mathbb {N} }$는 ${\displaystyle p}$의 고츠만 수이다.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]_{D}}$는 변수 ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}}$에 대한 ${\displaystyle D}$차 동차다항식들의 공간이다.
• ${\displaystyle \textstyle {\binom {a}{b}}}$는 이항 계수이다.

예

임의의 국소 뇌터 스킴 ${\displaystyle X}$에 대하여, 힐베르트 다항식이 상수 ${\displaystyle n}$인 힐베르트 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X}(n)}$을 생각하자. 이는 ${\displaystyle X}$ 위의 ${\displaystyle n}$개의 점으로 구성된 아르틴 부분 스킴의 모듈라이 공간이며, 따라서 짜임새 공간 ${\displaystyle X^{n}/\operatorname {Sym} (n)}$이다 (${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$은 대칭군). 특히, ${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{X}(1)=X}$이다.

같이 보기

• 모듈라이 공간
• 지겔 모듈러 다양체

참고 문헌

• Nitsure, Nitin. “Construction of Hilbert and Quot schemes” (영어). arXiv:math/0504590.
• Habibi, S. (2009). 《Hilbert and Quot schemes》 (영어). 석사 학위 논문 (지도 교수: L. Barbieri Viale). Université de Bordeaux Ⅺ.

외부 링크

• “Hilbert scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Hilbert scheme”. 《nLab》 (영어).
• Siegel, Charles (2008년 7월 18일). “The Hilbert scheme” (영어).
• Maclagan, Diane (2007년 9월). “Notes on Hilbert schemes” (PDF) (영어).
• Bertram, Aaron (1999). “Construction of the Hilbert scheme” (영어).