힐베르트 영점 정리

대수기하학에서 힐베르트 영점 정리(Hilbert零點定理, Hilbert's Nullstellensatz 눌슈텔렌자츠^[*])는 대수적으로 닫힌 체의 다항식 환의 아이디얼이 정의하는 대수 집합을 근으로 갖는 극대 아이디얼이 원래 아이디얼의 소근기라는 정리다. 대수기하학의 가장 근본적인 정리 중 하나로서, 대수적인 성질과 기하학적인 성질을 연관짓는다.

정의

${\displaystyle k}$가 체라고 하자. ${\displaystyle K}$가 ${\displaystyle k}$의 대수적으로 닫힌 확대라고 하자. ${\displaystyle I}$가 다항식환 ${\displaystyle k[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]}$의 아이디얼이라고 하자.

다항식환 ${\displaystyle k[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$의 아이디얼 ${\displaystyle J}$에 대하여, 그 아이디얼의 영점(근의 집합)의 교집합 ${\displaystyle {\mathcal {V}}(J)\subset K^{n}}$를 정의할 수 있다. (여기서 ${\displaystyle K^{n}}$는 ${\displaystyle K}$에 대한 ${\displaystyle n}$차원 아핀 공간이다.) ${\displaystyle {\mathcal {V}}(J)}$는 정의상 대수 집합을 이룬다. 또한, 대수적 집합 ${\displaystyle W\subset K^{n}}$가 주어지면, 그 영점이 ${\displaystyle W}$를 포함하는 다항식들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {I}}(W)\subset k[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$를 정의할 수 있다. 이는 아이디얼을 이룬다.

힐베르트 영점 정리는 다음과 같다. 다항식환의 아이디얼 ${\displaystyle J\subset k[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$에 대하여,

${\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(J))={\sqrt {J}}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$는 ${\displaystyle J}$의 소근기이다.

특히, ${\displaystyle k}$가 대수적으로 닫힌 경우 (${\displaystyle k=K}$), ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$와 ${\displaystyle I}$는 ${\displaystyle k[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$의 반소 아이디얼의 집합과 ${\displaystyle k^{n}}$의 대수 집합의 집합 사이의 전단사 함수이며, 서로의 역함수이다. 다항식환의 소 아이디얼은 ${\displaystyle K^{n}}$의 대수다양체(기약 대수 집합)에 일대일로 대응한다.

약한 형태

약한 힐베르트 영점 정리(weak Nullstellensatz)는 다음과 같다. 만약 아이디얼 ${\displaystyle J\subset k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$이 단위 아이디얼이 아니라면 (${\displaystyle J\neq k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$), ${\displaystyle J}$는 영점을 가진다 (${\displaystyle {\mathcal {V}}(J)\neq \emptyset }$).

만약 ${\displaystyle k}$가 대수적으로 닫힌 체인 경우, ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$의 모든 극대 아이디얼 ${\displaystyle J}$는 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle J=(x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})}$ (${\displaystyle a_{i}\in k}$).

역사와 어원

다비트 힐베르트가 1893년에 증명하였다.^[1] 이 정리의 독일어명 독일어: Nullstellensatz 눌슈텔렌자츠^[*]는 Null 눌^[*](영) + Stellen 슈텔렌^[*](위치들) + Satz 자츠^[*](정리)의 합성어이다.