미분 형식

미분기하학에서 미분 형식(微分形式, 영어: differential form)은 매끄러운 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다.^[1][2] 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 ${\displaystyle dx}$, ${\displaystyle dy}$ 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, ${\displaystyle p}$차원의 다양체에서는 ${\displaystyle p}$-형식을 자연스럽게 적분할 수 있다.

정의

${\displaystyle n}$차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 공변접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$은 ${\displaystyle n}$차원 벡터 다발이다. 여기에, 각 올에 대하여 외대수를 취하면 ${\displaystyle 2^{n}}$차원 벡터 다발

${\displaystyle \bigwedge \mathrm {T} ^{*}M}$

을 얻는다. 그 단면을 ${\displaystyle M}$ 위의 미분 형식이라고 한다. 미분 형식의 공간을 다음과 같이 표기하자.

${\displaystyle \Omega (M)=\Gamma \left(\bigwedge \mathrm {T} ^{*}M\right)}$

외대수 연산에 따라, 이 다발은 자연스럽게 차수로 분해된다.

${\displaystyle \bigwedge \mathrm {T} ^{*}M=\bigoplus _{k=0}^{n}\bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M}$

${\displaystyle \Omega (M)=\bigoplus _{k=0}^{n}\Omega ^{n}(M)=\bigoplus \Gamma \left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M\right)}$

${\displaystyle k}$차 미분 형식은 ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$의 매끄러운 단면이다.

지표 표기법

미분 형식은 추상적으로 나타낼 수 있지만, 구체적으로 지표를 가지고 나타낼 수도 있다. ${\displaystyle n}$차원 다양체에 국소적 좌표계 ${\displaystyle \{x^{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$를 잡으면,

${\displaystyle \{dx^{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$

는 1차 미분 형식들의 기저를 이룬다. 따라서, 임의의 ${\displaystyle k}$차 미분 형식은 다음과 같이 성분으로 전개할 수 있다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.)

${\displaystyle A={\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

이에 따라서, 예를 들어 리만 계량 ${\displaystyle g}$에 의한 부피 형식은

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det(g_{ij})}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}={\frac {1}{k!}}\epsilon _{i_{1}\dots i_{n}}{\sqrt {\det(g_{ij})}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

이므로,

${\displaystyle \omega _{i_{1}\dots i_{n}}={\sqrt {\det(g_{ij})}}\epsilon _{i_{1}\dots i_{n}}}$

이 된다.

무한 차원 다양체 위의 미분 형식

국소 볼록 공간 ${\displaystyle E}$가 주어졌을 때, 국소적으로 ${\displaystyle E}$와 위상 동형이며, 매끄러운 전이 함수를 갖는 국소 좌표계를 갖춘 하우스도르프 공간을 ${\displaystyle E}$-다양체라고 하자.

이 경우 마찬가지로 미분 형식의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, 위상 벡터 공간의 위상 쌍대 공간이 복잡하기 때문에, 접다발은 잘 정의되지만 일반적으로 공변접다발을 잘 정의하기 힘들며, 일반적으로 미분 형식을 어떤 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면으로 정의할 수 없다. 이 때문에, 미분 형식의 개념을 직접적으로 정의해야만 한다.

${\displaystyle E}$-다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle k}$차 미분 형식은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{[3]:Definition Ⅰ.4.1}

• 각 ${\displaystyle x\in M}$에 대하여, 완전 반대칭 ${\displaystyle k}$-선형 변환 ${\displaystyle \omega _{x}\colon \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}M\to \mathbb {R} }$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

열린집합 ${\displaystyle U\subseteq M}$ 위의 국소 좌표 ${\displaystyle \phi \colon U\to E}$에 대하여, ${\displaystyle \omega \circ U^{-1}\colon U\times \textstyle \bigwedge ^{k}E\to \mathbb {R} }$는 매끄러운 함수이다.

이 경우 쐐기곱과 외미분이 잘 정의된다.

연산

미분 형식들의 집합 위에는 여러 자연스러운 연산들이 정의되는데, 쐐기곱과 내부곱, 외미분, 적분, 당김 등이 있다. 또한, 만약 다양체에 리만 계량을 추가한다면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

쐐기곱

미분 형식의 쐐기곱(영어: wedge product)은 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의 ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$과 ${\displaystyle \beta ,\beta '\in \Omega ^{l}(M)}$, ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$에 대하여,

• ${\displaystyle f\wedge \alpha =f\alpha }$
• (분배법칙) ${\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\beta ')=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \beta '}$
• (반대칭성) ${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kl}\beta \wedge \alpha }$

성분으로 적으면 다음과 같다.

${\displaystyle \left({\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\wedge \left({\frac {1}{l!}}B_{j_{1}\dots j_{l}}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{l}}\right)={\frac {1}{(k+l)!}}{\frac {1}{k!l!}}A_{[i_{1}\dots i_{k}}B_{j_{1}\dots j_{l}]}dx^{i_{1}}\wedge \cdots dx^{i_{k}}\wedge dx^{j_{1}}\wedge dx^{j_{l}}}$

${\displaystyle (A\wedge B)_{i_{1}\dots i_{k}j_{1}\dots j_{l}}={\frac {1}{k!l!}}A_{[i_{1}\dots i_{k}}B_{j_{1}\dots j_{l}]}}$

여기서 ${\displaystyle [\dots ]}$는 지표의 (규칙화하지 않은) 완전 반대칭화를 뜻한다. 예를 들어, 두 2차 형식 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$의 쐐기곱은

${\displaystyle (A\wedge B)_{ijkl}=A_{ij}B_{kl}-A_{jk}B_{li}+A_{kl}B_{ij}-A_{li}B_{jk}-A_{ik}B_{jl}-A_{jl}B_{ik}}$

이다.

외미분

미분 형식의 외미분(外微分, 영어: Exterior derivative)은

${\displaystyle d\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet +1}(M)}$

은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다.

• 외미분은 (상수 계수에 대한) 선형변환이다.
• 0차 형식(함수)에 대해, 외미분은 일반 기울기다. 즉, ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$에 대하여, ${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}(\partial f/\partial x^{i})dx^{i}}$이다.
• 모든 0차 형식에 대해, ${\displaystyle d^{2}f=0}$이다.
• 임의의 ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$, ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{\bullet }(M)}$에 대하여 ${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta }$이다.

성분으로 쓰면, 구체적으로 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) 임의의 ${\displaystyle k}$차 미분 형식

${\displaystyle A={\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

에 대하여,

${\displaystyle dA={\frac {1}{k!}}(\partial _{i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}})dx^{i_{0}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}={\frac {1}{(k+1)!k!}}(\partial _{[i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}]})dx^{i_{0}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

이다. 즉,

${\displaystyle (dA)_{i_{0}\dots i_{k}}={\frac {1}{k!}}\partial _{[i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}]}=\partial _{i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}}-\partial _{i_{1}}A_{i_{0}i_{2}\dots i_{k}}+\partial _{i_{2}}A_{i_{1}i_{0}i_{3}\dots i_{k}}+\cdots +(-1)^{p}\partial _{i_{p}}A_{i_{1}i_{2}\dots i_{p-1}i_{0}i_{p+1}\dots i_{k}}+\cdots +(-)^{k}\partial _{i_{k}}A_{i_{1}\dots i_{k-1}i_{0}}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle [\cdots ]}$는 (규격화하지 않은) 완전 반대칭화를 나타낸다. 예를 들어, 1차 형식의 경우

${\displaystyle A=A_{i}dx^{i}}$

${\displaystyle dA={\frac {1}{2}}(\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i})dx^{i}\wedge dx^{j}={\frac {1}{2}}(dA)_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}}$

${\displaystyle (dA)_{ij}=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}}$

이고, 2차 형식의 경우

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}}$

${\displaystyle dA={\frac {1}{6}}(\partial _{i}A_{jk}+\partial _{j}A_{ki}+\partial _{k}A_{ij})dx^{i}\wedge dx^{j}\wedge dx^{k}={\frac {1}{6}}(dA)_{ijk}dx^{i}\wedge dx^{j}\wedge dx^{k}}$

${\displaystyle (dA)_{ijk}=\partial _{i}A_{jk}+\partial _{j}A_{ki}+\partial _{k}A_{ij}}$

이다.

적분

${\displaystyle n}$차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에 방향 및 ${\displaystyle n}$차 미분 형식 ${\displaystyle \alpha }$가 주어졌다면, ${\displaystyle \alpha }$의 적분

${\displaystyle \int _{M}\alpha \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$

을 정의할 수 있다. 구체적으로, ${\displaystyle M}$의 좌표근방계 ${\displaystyle \{(U_{i},\phi _{i})\}_{i\in I}}$ 및 이에 종속되는 단위 분할 ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김 ${\displaystyle (\phi _{i}^{-1})^{*}}$으로서 각 ${\displaystyle \phi _{i}(U_{i})\subset \mathbb {R} ^{n}}$에 방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의 ${\displaystyle n}$차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형

${\displaystyle \Omega ^{n}(\phi _{i}(U_{i})){\xrightarrow {\iota }}\Omega ^{0}(\phi _{i}(U_{i}))={\mathcal {C}}^{\infty }(\phi _{i}(U_{i}),\mathbb {R} )}$

을 정의할 수 있다. 그렇다면

${\displaystyle \int _{M}=\sum _{i\in I}\int _{\phi _{i}(U_{i})}\iota \left((\phi _{i}^{-1})^{*}\alpha \right)\,d^{n}\lambda }$

이다. 여기서 ${\displaystyle \int d^{n}\lambda }$는 ${\displaystyle n}$차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은 ${\displaystyle -1}$배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다.

내적

만약 ${\displaystyle n}$차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에 (유사) 리만 계량 ${\displaystyle g}$가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분 형식의 내적 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Omega ^{\bullet }(M)\times \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{0}(M)}$을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다.

• 서로 차수가 다른 두 미분 형식의 내적은 항상 0이다.
• 내적은 쌍선형이다.
• 임의의 ${\displaystyle k}$개의 1차 형식 ${\displaystyle \eta _{i}}$, ${\displaystyle \eta '_{j}}$에 대하여,
  ${\displaystyle \langle \eta _{1}\wedge \dots \wedge \eta _{k},\eta '_{1}\wedge \dots \wedge \eta '_{k}\rangle =\det(g(\eta _{i},\eta _{j}))_{ij}}$
  이다.

즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자)

${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}},{\frac {1}{k!}}B_{j_{1}\dots j_{k}}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}\right\rangle ={\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}B_{j_{1}\dots j_{k}}g^{i_{1}j_{1}}\dots g^{i_{k}j_{k}}}$

이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다.

${\displaystyle \langle \omega ,\omega \rangle ={\frac {1}{n!}}(\det g)\epsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\epsilon _{j_{1}\dots j_{n}}g^{i_{1}j_{1}}\dots g^{i_{n}j_{n}}=1}$.

호지 쌍대

 이 부분의 본문은 호지 쌍대입니다.

${\displaystyle n}$차원 유향 (유사) 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g,\omega )}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호지 쌍대 연산자를 정의할 수 있다.

${\displaystyle *\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{n-\bullet }(M)}$

이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \alpha \wedge *\beta =\langle \alpha ,\beta \rangle \omega }$

성분으로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle (*A)_{j_{k+1}\dots j_{n}}={\frac {1}{k!}}{\sqrt {|\det g|}}\alpha _{i_{1}\dots i_{k}}\epsilon _{j_{1}\dots j_{n}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}}$

예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는

${\displaystyle (*A)_{kl}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\det g|}}\epsilon _{ijkl}A_{i'j'}g^{ii'}g^{jj'}}$

이다.

역사

미분 형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다.

응용

다변수 미적분학 및 미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장과 자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다.