미분 형식들의 집합 위에는 여러 자연스러운 연산들이 정의되는데, 쐐기곱과 내부곱, 외미분, 적분, 당김 등이 있다. 또한, 만약 다양체에 리만 계량을 추가한다면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다.
외미분
미분 형식의 외미분(外微分, 영어: Exterior derivative)은

은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다.
- 외미분은 (상수 계수에 대한) 선형변환이다.
- 0차 형식(함수)에 대해, 외미분은 일반 기울기다. 즉,
에 대하여,
이다.
- 모든 0차 형식에 대해,
이다.
- 임의의
,
에 대하여
이다.
성분으로 쓰면, 구체적으로 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) 임의의
차 미분 형식

에 대하여,
![{\displaystyle dA={\frac {1}{k!}}(\partial _{i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}})dx^{i_{0}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}={\frac {1}{(k+1)!k!}}(\partial _{[i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}]})dx^{i_{0}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59948fcd601914277bc004d6169acceae4d95c15)
이다. 즉,
![{\displaystyle (dA)_{i_{0}\dots i_{k}}={\frac {1}{k!}}\partial _{[i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}]}=\partial _{i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}}-\partial _{i_{1}}A_{i_{0}i_{2}\dots i_{k}}+\partial _{i_{2}}A_{i_{1}i_{0}i_{3}\dots i_{k}}+\cdots +(-1)^{p}\partial _{i_{p}}A_{i_{1}i_{2}\dots i_{p-1}i_{0}i_{p+1}\dots i_{k}}+\cdots +(-)^{k}\partial _{i_{k}}A_{i_{1}\dots i_{k-1}i_{0}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db588181117dbc228280b541408370b7bd9f054c)
이다. 여기서
는 (규격화하지 않은) 완전 반대칭화를 나타낸다. 예를 들어, 1차 형식의 경우



이고, 2차 형식의 경우



이다.
적분
차원 매끄러운 다양체
위에 방향 및
차 미분 형식
가 주어졌다면,
의 적분

을 정의할 수 있다. 구체적으로,
의 좌표근방계
및 이에 종속되는 단위 분할
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김
으로서 각
에 방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의
차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형

을 정의할 수 있다. 그렇다면

이다. 여기서
는
차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은
배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다.
내적
만약
차원 매끄러운 다양체
위에 (유사) 리만 계량
가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분 형식의 내적
을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다.
- 서로 차수가 다른 두 미분 형식의 내적은 항상 0이다.
- 내적은 쌍선형이다.
- 임의의
개의 1차 형식
,
에 대하여,
이다.
즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자)

이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다.
.
호지 쌍대
차원 유향 (유사) 리만 다양체
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호지 쌍대 연산자를 정의할 수 있다.

이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다.

성분으로 쓰면 다음과 같다.

예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는

이다.