다변수 미적분학

다변수 미적분학(multivariable calculus) 또는 다변량 미적분학(multivariate calculus)은 변수가 하나인 미적분학을 여러 변수 함수로 확장한 것이다. 즉, 하나의 변수만 포함하는 함수가 아니라 여러 변수(다변량)를 포함하는 함수의 미분과 적분을 다룬다.^[1]

다변수 미적분학은 유클리드 공간 위의 미적분학의 기초적인 부분으로 생각할 수 있다. 3차원 공간에서의 미적분학의 특수한 경우는 종종 벡터 미적분학이라고 불린다.

서론

일변수 미적분학에서는 미분과 적분과 같은 연산이 단일 변수의 함수에 대해 이루어진다. 다변수 미적분학에서는 이를 여러 변수로 일반화해야 하며, 정의역은 따라서 다차원이 된다. 따라서 1차원 공간과 고차원 공간 간의 두 가지 주요 차이점 때문에 이러한 일반화에 주의가 필요하다.

1. 고차원에서는 단일 점에 접근하는 무한한 방법이 있는 반면, 1차원에서는 두 가지 방법(양의 방향과 음의 방향에서)만 있다.
2. 차원과 관련된 여러 확장된 객체가 존재한다. 예를 들어, 1차원 함수는 2차원 데카르트 평면에 곡선으로 표현되지만, 두 변수의 스칼라 값 함수는 3차원 공간의 표면이며, 곡선도 3차원 공간에 존재할 수 있다.

첫 번째 차이점의 결과는 극한과 연속성의 정의의 차이이다. 방향 극한과 도함수는 1차원 매개변수화된 곡선을 따라 극한과 미분을 정의하여 문제를 1차원 경우로 축소한다. 이러한 연산자로부터 더 높은 차원의 객체를 구성할 수 있다.

두 번째 차이점의 결과는 선적분, 면적분, 부피적분을 포함한 여러 유형의 적분이 존재한다는 것이다. 이러한 적분의 비유일성 때문에 부정적분을 제대로 정의할 수 없다.

극한

다변수 미적분학에서 극한과 연속성을 연구하면 단일 변수 함수에서는 나타나지 않는 직관에 반하는 많은 결과가 나온다.

경로를 따른 극한은 n차원 유클리드 공간에서 매개변수화된 경로 ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$를 고려하여 정의할 수 있다. 어떤 함수 ${\displaystyle f({\overrightarrow {x}}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$도 ${\displaystyle f(s(t))}$와 같이 1차원 함수로 경로에 투영될 수 있다. 따라서 경로 ${\displaystyle s(t)}$를 따라 점 ${\displaystyle s(t_{0})}$으로 향하는 ${\displaystyle f}$의 극한은 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \lim _{{\overrightarrow {x}}\to s(t_{0})}f({\overrightarrow {x}})=\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))}$

(1)

이 극한값은 ${\displaystyle s(t)}$의 형태, 즉 선택된 경로에 따라 달라질 수 있으며, 극한이 접근하는 점에만 의존하지 않는다는 점에 유의해야 한다.^[1]:19–22 예를 들어, 다음 함수를 고려해 보자.

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.}$

점 ${\displaystyle (0,0)}$에 직선 ${\displaystyle y=kx}$를 통해 접근하거나, 매개변수 형태로 접근하면 다음과 같다.

함수 f(x, y) = (x²y)/(x⁴ + y²)의 그래프

${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=kt}$

(2)

그러면 경로를 따른 극한은 다음과 같다.

${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {kt^{3}}{t^{4}+k^{2}t^{2}}}=0}$

(3)

반면에, 경로 ${\displaystyle y=\pm x^{2}}$ (또는 매개변수적으로 ${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=\pm t^{2}}$)를 선택하면 극한은 다음과 같다.

${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {\pm t^{4}}{t^{4}+t^{4}}}=\pm {\frac {1}{2}}}$

(4)

동일한 점으로 다른 경로를 취하면 다른 값이 나오므로, 함수에 대해 점 ${\displaystyle (0,0)}$에서의 일반적인 극한을 정의할 수 없다.

함수 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$에 대해 ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$인 어떤 점 ${\displaystyle x_{0}}$으로 향하는 ${\displaystyle f}$의 극한이 L이라고 하는 것은 다음과 같은 경우에만 가능하다.

${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=L}$

(5)

${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$인 모든 연속 함수 ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$에 대해.

연속성

경로를 따른 극한의 개념으로부터, 우리는 다변수 연속성에 대한 정의를 동일한 방식으로 도출할 수 있다. 즉, 함수 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$에 대해 ${\displaystyle x_{0}}$에서 ${\displaystyle f}$가 연속이라고 하는 것은 다음과 같은 경우에만 가능하다.

${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=f(x_{0})}$

(5)

${\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}$인 모든 연속 함수 ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$에 대해.

극한과 마찬가지로, 하나의 경로 ${\displaystyle s(t)}$를 따라 연속인 것이 다변수 연속성을 의미하지는 않는다.

각 인수에 대한 연속성이 다변수 연속성을 위한 충분 조건이 아님은 다음 예시에서도 볼 수 있다.^[1]:17–19 예를 들어, 두 개의 실수 매개변수를 갖는 실수 값 함수 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$, 즉 ${\displaystyle f(x,y)}$에 대해, 고정된 ${\displaystyle y}$에 대한 ${\displaystyle x}$의 ${\displaystyle f}$의 연속성과 고정된 ${\displaystyle x}$에 대한 ${\displaystyle y}$의 ${\displaystyle f}$의 연속성이 ${\displaystyle f}$의 연속성을 의미하지는 않는다.

다음을 고려하자.

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}$

이 함수는 사각형 ${\displaystyle (0,1)\times (0,1)}$의 경계와 외부에서는 정의에 따라 0임을 쉽게 확인할 수 있다. 또한, 상수 ${\displaystyle x}$와 ${\displaystyle y}$ 및 ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$에 대해 정의된 함수는

${\displaystyle g_{a}(x)=f(x,a)\quad }$ 및 ${\displaystyle \quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad }$

연속이다. 구체적으로,

${\displaystyle g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0}$ for all x and y. 따라서, ${\displaystyle f(0,0)=0}$이며, 좌표 축을 따라 ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=0}$ 및 ${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=0}$이다. 따라서 이 함수는 두 개별 인수를 따라 연속이다.

그러나 매개변수 경로 ${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=t}$를 고려해 보자. 매개변수 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f(x(t),y(t))={\begin{cases}1-t&{\text{if}}\quad t>0\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}$

(6)

따라서,

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(x(t),y(t))=1\neq f(0,0)=0}$

(7)

따라서 이 함수는 두 좌표에서 연속임에도 불구하고 다변수 연속이 아님이 분명하다.

다변수 극한과 연속성에 관한 정리

• 일변수 미적분학의 모든 선형성과 중첩의 속성은 다변수 미적분학으로 이어진다.
• 합성: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$와 ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}}$가 각각 점 ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$와 ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}$에서 다변수 연속 함수이면, ${\displaystyle g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}$도 점 ${\displaystyle x_{0}}$에서 다변수 연속 함수이다.
• 곱셈: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$와 ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$가 모두 점 ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$에서 연속 함수이면, ${\displaystyle fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$는 ${\displaystyle x_{0}}$에서 연속이고, ${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$인 경우 ${\displaystyle f/g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$도 ${\displaystyle x_{0}}$에서 연속이다.
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$가 점 ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$에서 연속 함수이면, ${\displaystyle |f|}$도 동일한 점에서 연속이다.
• ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$가 점 ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$의 근방에서 립시츠 연속 (필요에 따라 적절한 노름 공간 포함)이면, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle x_{0}}$에서 다변수 연속이다.

Proof

${\displaystyle f}$에 대한 립시츠 연속성 조건으로부터 우리는 다음을 얻는다.

${\displaystyle |f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|}$

(8)

여기서 ${\displaystyle K}$는 립시츠 상수이다. 또한 ${\displaystyle s(t)}$가 ${\displaystyle t_{0}}$에서 연속이므로, 모든 ${\displaystyle \delta >0}$에 대해 ${\displaystyle |t-t_{0}|<\epsilon }$을 만족하는 모든 ${\displaystyle t}$에 대해 ${\displaystyle |s(t)-s(t_{0})|<\delta }$인 ${\displaystyle \epsilon >0}$이 존재한다.

따라서, 모든 ${\displaystyle \alpha >0}$에 대해 ${\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{K}}}$를 선택한다. 그러면 ${\displaystyle \epsilon >0}$이 존재하여 ${\displaystyle |t-t_{0}|<\epsilon }$을 만족하는 모든 ${\displaystyle t}$에 대해 ${\displaystyle |s(t)-s(t_{0})|<\delta }$이고, ${\displaystyle |f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|<K\delta =\alpha }$이다. 따라서 ${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))}$는 ${\displaystyle s(t)}$의 정확한 형태에 관계없이 ${\displaystyle f(s(t_{0}))}$로 수렴한다.

미분

 이 부분의 본문은 편미분 및 방향도함수입니다.

방향도함수

일변수 함수의 도함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

(9)

위에서 논의한 극한의 확장을 사용하여, 스칼라 값 함수 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$의 도함수 정의를 어떤 경로 ${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$를 따라 확장할 수 있다.

${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0}+h))-f(s(t_{0}))}{|s(t_{0}+h)-s(t_{0})|}}}$

(10)

극한과는 달리, 도함수는 경로 ${\displaystyle s(t)}$의 정확한 형태에 따라 달라지는 것이 아니라, ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle s(t_{0})}$에서 립시츠 연속이고, 적어도 하나의 그러한 경로에 대해 극한이 존재한다면, ${\displaystyle s(t_{0})}$에서의 경로의 접선 벡터, 즉 ${\displaystyle s'(t_{0})}$에만 의존한다는 것을 보일 수 있다.

Proof

첫 번째 도함수까지 연속인 ${\displaystyle s(t)}$에 대해 (이 진술은 ${\displaystyle s}$가 한 변수의 함수이므로 잘 정의됨), 우리는 테일러 정리를 사용하여 ${\displaystyle t_{0}}$ 주변의 ${\displaystyle s}$의 테일러 전개를 쓸 수 있다.

${\displaystyle s(t)=s(t_{0})+s'(\tau )(t-t_{0})}$

(11)

여기서 ${\displaystyle \tau \in [t_{0},t]}$이다.

이를 10에 대입하면,

${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(\tau )h)-f(s(t_{0}))}{|s'(\tau )h|}}}$

(12)

여기서 ${\displaystyle \tau (h)\in [t_{0},t_{0}+h]}$이다.

립시츠 연속성은 어떤 유한한 ${\displaystyle K}$에 대해 ${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq K|x-y|}$를 제공한다. 따라서 ${\displaystyle |f(x+O(h))-f(x)|\sim O(h)}$이다.

또한 ${\displaystyle s'(t)}$의 연속성을 고려하면 ${\displaystyle h\to 0}$일 때 ${\displaystyle s'(\tau )=s'(t_{0})+O(h)}$이다.

이 두 조건을 12에 대입하면,

${\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(t_{0})h)-f(s(t_{0}))+O(h^{2})}{|s'(t_{0})h|+O(h^{2})}}}$

(13)

그 극한은 지배적인 항으로서 ${\displaystyle s'(t_{0})}$에만 의존한다.

따라서 방향도함수의 정의를 다음과 같이 일반화할 수 있다. 점 ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$에서 단위 벡터 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u}}}}$를 따른 스칼라 값 함수 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$의 방향도함수는

${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)-f(x_{0})}{t}}}$

(14)

또는 일반 미분으로 표현하면,

${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\left.{\frac {df(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}{dt}}\right|_{t=0}}$

(15)

이는 ${\displaystyle f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}$가 ${\displaystyle t}$에 대한 한 변수의 스칼라 함수이므로 잘 정의된 표현이다.

방향 없이 유일한 스칼라 미분을 정의하는 것은 불가능하다. 예를 들어 ${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})}$임이 분명하다. 또한 어떤 방향에 대해서는 방향도함수가 존재하지만 다른 방향에 대해서는 존재하지 않을 수도 있다.

편미분

 이 부분의 본문은 편미분입니다.

편미분은 미분 개념을 고차원으로 일반화한다. 다변수 함수의 편미분은 다른 모든 변수를 상수로 고정하고 한 변수에 대해 수행되는 미분이다.^[1]:26ff

편미분은 좌표 축을 따른 함수의 방향도함수로 생각할 수 있다.

편미분은 흥미로운 방식으로 결합되어 더 복잡한 미분 표현을 생성할 수 있다. 벡터 미적분학에서는 델 연산자(${\displaystyle \nabla }$)를 사용하여 기울기, 발산, 회전의 개념을 편미분으로 정의한다. 편미분 행렬인 야코비 행렬은 임의의 차원을 가진 두 공간 사이의 함수의 도함수를 나타내는 데 사용될 수 있다. 따라서 도함수는 함수의 정의역 내에서 점마다 직접적으로 변하는 선형 변환으로 이해될 수 있다.

편미분을 포함하는 미분방정식을 편미분 방정식 또는 PDE라고 한다. 이러한 방정식은 단일 변수에 대한 미분만을 포함하는 상미분 방정식보다 일반적으로 풀기 더 어렵다.^[1]:654ff

중적분

 이 부분의 본문은 중적분입니다.

중적분은 적분 개념을 임의의 변수 수의 함수로 확장한다. 이중 적분과 삼중 적분은 평면과 공간에서 영역의 넓이와 부피를 계산하는 데 사용될 수 있다. 푸비니 정리는 적분 피적분 함수가 적분 영역 전체에서 연속인 한, 중적분이 반복 적분 또는 이중 적분으로 평가될 수 있음을 보장한다.^[1]:367ff

면적분과 선적분은 곡선 다양체, 예를 들어 표면과 곡선 위에서 적분하는 데 사용된다.

다차원 미적분학의 기본 정리

일변수 미적분학에서 미적분학의 기본 정리는 도함수와 적분 사이의 연관성을 설정한다. 다변수 미적분학에서 도함수와 적분 사이의 연관성은 벡터 미적분학의 적분 정리에 의해 구현된다.^[1]:543ff

• 선적분의 기본정리
• 스토크스의 정리
• 발산 정리
• 그린 정리.

다변수 미적분학의 고급 연구에서는 이 네 가지 정리가 미분 형식의 다양체에 대한 적분에 적용되는 더 일반적인 정리인 일반화된 스토크스 정리의 특정 구현임을 알 수 있다.^[2]

응용 및 활용

다변수 미적분학 기술은 물질 세계의 많은 흥미로운 대상을 연구하는 데 사용된다. 특히,

		함수 유형	적용 가능한 기법
곡선		${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ for ${\displaystyle n>1}$	곡선의 길이, 선적분, 곡률.
표면		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}}$ for ${\displaystyle n>2}$	표면의 넓이, 면적분, 표면을 통한 선속, 곡률.
스칼라장		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$	극대와 극소, 라그랑주 승수, 방향도함수, 레벨집합.
벡터장		${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$	벡터 미적분학의 모든 연산 (기울기, 발산, 회전 포함).

다변수 미적분학은 여러 자유도를 가진 결정론적 시스템을 분석하는 데 적용될 수 있다. 각 자유도에 해당하는 독립변수를 가진 함수는 종종 이러한 시스템을 모델링하는 데 사용되며, 다변수 미적분학은 시스템 다이내믹스를 특성화하기 위한 도구를 제공한다.

다변량 미적분학은 연속 시간 동역학계의 최적 제어에 사용된다. 또한 다양한 경험적 데이터 집합 간의 관계를 추정하는 공식을 도출하기 위해 회귀 분석에 사용된다.

다변수 미적분학은 자연과학과 사회과학 및 공학의 많은 분야에서 결정론적 행동을 보이는 고차원 시스템을 모델링하고 연구하는 데 사용된다. 예를 들어 경제학에서는 다양한 상품에 대한 소비자 선택과 다양한 투입물을 사용하고 산출물을 생산하는 생산자 선택이 다변수 미적분학으로 모델링된다.

비결정론적, 즉 확률적 시스템은 확률미적분학과 같은 다른 종류의 수학을 사용하여 연구할 수 있다.

같이 보기

• 다변수 미적분학 주제 목록
• 다변량 통계