J-준동형

대수적 위상수학에서 J-준동형(J-準同型, 영어: J-homomorphism)은 특수 직교군의 호모토피 군에서 초구의 호모토피 군으로 가는 특별한 군 준동형이다.^[1]

정의

J-준동형은 다음과 같은 군 준동형이다.

${\displaystyle J_{k,n}\colon \operatorname {\pi } _{k}(\operatorname {SO} (n))\to \pi _{k+n}(\mathbb {S} ^{n})\qquad (k,n\geq 2)}$

여기서

• ${\displaystyle \pi _{k}(-)}$는 다양체의 ${\displaystyle k}$차 호모토피 군이다.
• ${\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )}$은 실수체 계수 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬로 구성된 특수 직교군이다. 이는 리 군이므로, 특히 매끄러운 다양체를 이룬다.
• ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$은 ${\displaystyle n}$차원 초구이다. 이 역시 물론 매끄러운 다양체이다.

구체적으로, 이는 다음과 같다. 우선, 정의에 따라서, ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$은 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ 위에 표준적으로 매끄럽게 작용한다.

${\displaystyle \operatorname {SO} (n)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{n-1},\mathbb {S} ^{n-1})}$

따라서, ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$의 ${\displaystyle k}$차 호모토피 군은 다음과 같은 꼴의 연속 함수의 호모토피류로 구성된다.

${\displaystyle \operatorname {S} ^{k}\times \mathbb {S} ^{n-1}\to \mathbb {S} ^{n-1}}$

따라서, 이는 다음과 같은 호모토피류를 정의한다.

${\displaystyle \mathbb {S} ^{k+n}\cong \mathbb {S} ^{k}\star \mathbb {S} ^{n-1}\to \operatorname {S} (\mathbb {S} ^{n-1})\cong \mathbb {S} ^{n}}$

이는 물론 ${\displaystyle \pi _{k+n}(\mathbb {S} ^{n})}$의 원소이다. 여기서 ${\displaystyle X\star Y}$는 두 위상 공간의 이음이며, ${\displaystyle \operatorname {S} (-)}$은 위상 공간의 현수이다.

또한, 만약 ${\displaystyle n\to \infty }$ 극한을 취한다면, 다음과 같은 안정 J-준동형(영어: stable J-homomomorphism)을 얻는다.

${\displaystyle J_{k,\infty }\colon \operatorname {\pi } _{k}(\operatorname {SO} (\infty ))\to \operatorname {\pi } _{k}^{\mathbb {S} }}$

역사

하인츠 호프가 ${\displaystyle \pi _{k}(\operatorname {SO} (k+1))\to \pi _{2k+1}(\mathbb {S} ^{k+1})}$인 경우를 1935년에 구성하였다.^[2] 이후 조지 윌리엄 화이트헤드 2세(영어: George William Whitehead, Jr., 1918~2004)가 이를 ${\displaystyle \pi _{k}(\operatorname {SO} (n))\to \pi _{k+n}(\mathbb {S} ^{n})}$인 경우로 일반화하였다.^[3]