RC 회로

RC 회로(RC circuit) 또는 저항-축전기 회로, RC 필터 또는 RC 네트워크는 저항기와 축전기로 구성된 전기 회로이다. 이 회로는 전압원 또는 전류원에 의해 구동될 수 있으며, 이에 따라 다른 응답을 생성한다. 1차 RC 회로는 하나의 저항기와 하나의 축전기로 구성되며 가장 간단한 유형의 RC 회로이다.

RC 회로는 특정 주파수를 차단하고 다른 주파수를 통과시켜 신호를 필터링하는 데 사용될 수 있다. 가장 일반적인 두 가지 RC 필터는 하이패스 필터와 로우패스 필터이다. 대역 필터 및 밴드 저지 필터는 일반적으로 RLC 회로를 필요로 하지만, RC 필터로도 조악하게 만들 수 있다.

자연 응답

가장 간단한 RC 회로

가장 간단한 RC 회로는 외부 전압원 없이 단일 루프에서 서로 연결된 저항 R을 가진 저항기와 축전 용량 C을 가진 충전된 축전기로 구성된다. 축전기는 저장된 에너지를 저항기를 통해 방전한다. 그림에서 축전기의 상단 플레이트 전압을 하단 플레이트 전압에 대해 V(t)라고 하면, 축전기 전류-전압 관계에 따라 축전기의 상단 플레이트에서 나가는 전류 I(t)는 C에 V(t)의 음의 시간 미분값을 곱한 것과 같다. 키르히호프의 전류 법칙에 따르면 이 전류는 저항기의 상단으로 들어가는 전류와 동일하며, 옴의 법칙에 따라 V(t)/R과 같다. 이는 선형 미분 방정식을 산출한다. $${\displaystyle \overbrace {C{\frac {-\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}} ^{\text{capacitor current}}=\overbrace {\frac {V(t)}{R}} ^{\text{resistor current}},}$$ 이는 지수적 감쇠의 표준 형식에 따라 재배열될 수 있다: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {1}{RC}}V(t).}$$ 이것은 어느 시점에서든 전압 감소의 순간적인 속도가 그 시점의 전압에 비례한다는 것을 의미한다. V(t)를 풀이하면 0에 점근적으로 접근하는 지수적 감쇠 곡선이 나온다: $${\displaystyle V(t)=V_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}},}$$ 여기서 V₀는 시간 t = 0에서의 축전기 전압이고, e는 자연로그의 밑이다.

전압이 V₀/e로 떨어지는 데 필요한 시간을 RC 시정수라고 하며 다음 식으로 주어진다.^[1] $${\displaystyle \tau =RC.}$$ 국제단위계를 사용할 때, R은 옴 (단위) 단위이고, C는 패럿 단위이므로, τ는 초 (시간) 단위가 된다. 임의의 시간 N·τ에서, 축전기의 전하 또는 전압은 초기 값의 1/e^N이 된다. 따라서 축전기의 전하 또는 전압이 100%에서 시작한다고 하면, 1·τ에서는 36.8%가 남고, 2·τ에서는 13.5%가 남고, 3·τ에서는 5%가 남고, 4·τ에서는 1.8%가 남고, 5·τ 이후에는 0.7% 미만이 남는다.

반감기 (t_1/2)는 전하 또는 전압이 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간이다.^[2] $${\displaystyle {\frac {1}{2}}=e^{-{\tfrac {t_{1/2}}{\tau }}}\quad \Rightarrow \quad t_{1/2}=\ln(2)\,\tau \approx {\text{0.693}}\,\tau .}$$ 예를 들어, 전하 또는 전압의 50%는 시간 1·t_1/2 후에 남아 있고, 25%는 시간 2·t_1/2 후에 남아 있으며, 12.5%는 시간 3·t_1/2 후에 남아 있고, 1/2^N은 시간 N·t_1/2 후에 남아 있다.

RC 방전 계산기

0.000001

1000000

1

1

1

1

1

1

1

.368

36.8

1

0.368

1 1

1

0.159

1

1

1

1

예를 들어, 1  저항과 1  축전 용량은 약 1 seconds.의 시정수를 생성한다. 이 τ는 약 159 millihertz 또는 1 radians per second.의 차단 주파수에 해당한다. 만약 축전기가 1 의 초기 전압 V₀을 가진다면, 1 τ (약 1 seconds 또는 1.443 반감기) 후 축전기의 전압은 약 368 millivolts:로 방전될 것이다:

 V_C(1τ) ≈ 36.8% of V₀ 

복소 온저항

RC 회로의 동작은 라플라스 변환 영역에서 잘 분석될 수 있으며, 이 글의 나머지 부분은 라플라스 변환 영역에 대한 기본적인 이해를 필요로 한다. 라플라스 변환 영역은 복소 주파수 s를 사용하는 주파수 영역 표현으로, 이는 (일반적으로) 복소수이다. $${\displaystyle s=\sigma +j\omega ,}$$ 여기서

j는 허수 단위를 나타낸다: j² = −1,

σ는 지수적 감쇠 상수이다.

ω는 사인파 각진동수이다.

라플라스 변환 영역에서 회로 방정식을 평가할 때, 축전기와 유도 용량의 시간 의존적인 회로 요소는 실수 저항 대신 복소값 온저항을 가진 저항기처럼 취급할 수 있다. 저항기의 복소 온저항 Z_R은 단순히 저항값 R과 같은 실수 값이지만, 축전기 C의 복소 온저항은 대신 $${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{Cs}}.}$$

직렬 회로

직렬 RC 회로

전류

키르히호프의 전류 법칙에 따르면 직렬 회로의 전류는 두 요소 모두에서 반드시 동일하다. 옴의 법칙에 따르면 이 전류는 입력 전압 ${\displaystyle V_{\mathrm {in} }}$을 축전기와 저항기의 복소 온저항의 합으로 나눈 것과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+{\frac {1}{Cs}}}}\\&={\frac {Cs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.\end{aligned}}}$

전압

회로를 전압 나누개로 보면 축전기 양단의 전압은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}(s)&={\frac {\frac {1}{Cs}}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)\\&={\frac {1}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\end{aligned}}}$

저항기 양단의 전압은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{R}(s)&={\frac {R}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)\\&={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.\end{aligned}}}$

전달 함수

입력 전압에서 축전기 양단의 전압까지의 전달 함수는

${\displaystyle H_{C}(s)={\frac {V_{C}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{1+RCs}}\,.}$

마찬가지로, 입력에서 저항기 양단의 전압까지의 전달 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\rm {in(s)}}}}={\frac {RCs}{1+RCs}}\,.}$

극점과 영점

두 전달 함수 모두 다음과 같은 위치에 단일 극점을 갖는다.

${\displaystyle s=-{\frac {1}{RC}}\,.}$

또한, 저항기 양단의 전압에 대한 전달 함수는 원점에 영점을 가진다.

주파수 영역 고려사항

정현파 정상 상태는 순수 정현파만으로 구성된 입력을 고려하는 복소 주파수의 특별한 경우이다. 따라서 정상 상태만 관심 대상일 때 복소 주파수 방정식 ${\displaystyle s{=}\sigma {+}j\omega }$에서 ${\displaystyle \sigma }$로 표현되는 지수적 감쇠 성분은 무시할 수 있다. 따라서 이전 전달 함수에 ${\displaystyle s\Rightarrow j\omega }$를 간단히 대입하면 회로의 정현파 이득 및 위상 응답을 얻을 수 있다.

이득

직렬 RC 회로의 진폭 및 위상 전달 함수

두 구성 요소에 걸친 이득의 크기는 다음과 같다.

${\displaystyle G_{C}={\big |}H_{C}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}$

그리고

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}\,,}$

주파수가 매우 커지면 (ω → ∞), 축전기는 단락 회로처럼 작동하므로:

${\displaystyle G_{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

주파수가 매우 작아지면 (ω → 0), 축전기는 개방 회로처럼 작동하므로:

${\displaystyle G_{C}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

하이패스 또는 로우패스 필터로서의 작동

이러한 극단적인 주파수에서의 동작은 축전기 양단에서 출력을 취하면 고주파는 감쇠되고 저주파는 통과되므로 이러한 회로 구성은 로우패스 필터임을 보여준다. 그러나 저항기 양단에서 출력을 취하면 고주파는 통과되고 저주파는 감쇠되므로 이러한 구성은 하이패스 필터이다.

차단 주파수

필터가 통과시키는 주파수 범위를 대역폭 (신호 처리)이라고 한다. 필터가 신호를 필터링되지 않은 전력의 절반으로 감쇠시키는 주파수를 차단 주파수라고 한다. 이를 위해서는 회로의 이득이 다음과 같이 감소되어야 한다.

${\displaystyle G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$.

위 방정식을 풀면 다음과 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{RC}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {1}{2\pi RC}}}$

이는 필터가 원래 전력의 절반으로 감쇠시키는 주파수이다.

위상

위상 각은

${\displaystyle \phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)}$

그리고

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)\,.}$

ω → 0일 때:

${\displaystyle \phi _{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

ω → ∞일 때:

${\displaystyle \phi _{C}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

출력 신호의 입력 대비 위상 변화는 주파수에 따라 달라지지만, 일반적으로 이득 변화보다 덜 흥미롭다. 직류 (0 Hz)에서 축전기 전압은 입력 신호 전압과 동위상이며 저항기 전압은 90° 앞선다. 주파수가 증가함에 따라 축전기 전압은 입력 신호에 대해 90° 지연되고 저항기 전압은 입력 신호와 동위상이 된다.

페이저 표현

이득과 위상 표현을 함께 결합하여 출력을 나타내는 다음 페이저 표현을 만들 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}&=G_{C}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{C}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\,.\end{aligned}}}$

임펄스 응답

직렬 RC 회로의 임펄스 응답

각 전압에 대한 임펄스 응답은 해당 전달 함수의 라플라스 역변환이다. 이는 임펄스 또는 디랙 델타 함수로 구성된 입력 전압에 대한 회로의 응답을 나타낸다.

축전기 전압에 대한 임펄스 응답은

${\displaystyle h_{C}(t)={\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

여기서 u(t)는 단위 계단 함수이고 τ = RC는 시간 상수이다.

마찬가지로, 저항기 전압에 대한 임펄스 응답은

${\displaystyle h_{R}(t)=\delta (t)-{\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

여기서 δ(t)는 디랙 델타 함수이다.

시간 영역 고려 사항

이 섹션은 라플라스 변환에 대한 지식을 바탕으로 한다.

시간 영역 동작을 도출하는 가장 간단한 방법은 위에 주어진 V_C 및 V_R 표현의 라플라스 변환을 사용하는 것이다. 계단 입력을 가정하면 (즉, t = 0 이전에는 V_in = 0이고 그 이후에는 V_in = V₁):

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V_{1}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{C}(s)&=V_{1}\cdot {\frac {1}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V_{1}\cdot {\frac {sRC}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

축전기 전압 계단 응답.

저항기 전압 계단 응답.

부분 분수 전개와 라플라스 역변환을 사용하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}(t)&=V_{1}\cdot \left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\\V_{R}(t)&=V_{1}\cdot \left(e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\,.\end{aligned}}}$

이 방정식은 축전기가 충전되는 동안 축전기와 저항기 양단의 전압을 계산하기 위한 것이며, 방전 시에는 그 반대이다. 이 방정식은 C = ⁠Q/V⁠ 및 V = IR 관계 (옴의 법칙 참조)를 사용하여 전하 및 전류의 항으로 다시 쓸 수 있다.

따라서 축전기 양단의 전압은 시간이 지남에 따라 V₁로 향하는 반면, 저항기 양단의 전압은 0으로 향한다. 이는 그림에 나타난 바와 같이 축전기가 시간이 지남에 따라 전원 전압으로부터 충전되어 결국 완전히 충전될 것이라는 직관적인 점과 일치한다.

곱 RC는 V_C 및 V_R이 최종 값의 ⁠1/e⁠ 이내에 도달하는 시간이다. 즉, RC는 축전기 양단의 전압이 V₁·(1 − ⁠1/e⁠)까지 상승하거나 저항기 양단의 전압이 V₁·(⁠1/e⁠)까지 떨어지는 데 걸리는 시간이다. 이 RC 시정수는 문자 타우 (τ)로 표시된다.

변화율은 τ당 1 − ⁠1/e⁠의 분수이다. 따라서 t = Nτ에서 t = (N + 1)τ로 이동할 때, 전압은 t = Nτ에서의 수준에서 최종 값으로 약 63.2% 이동할 것이다. 따라서 축전기는 τ 후에 약 63.2% 충전되고, 약 5τ 후에 완전히 충전된 것으로 간주된다 (>99.3%). 전압원이 단락 회로로 대체되고 축전기가 완전히 충전되면 축전기 양단의 전압은 V에서 0으로 t에 따라 지수적으로 감소한다. 축전기는 τ 후에 약 36.8% 방전되고, 약 5τ 후에 완전히 방전된 것으로 간주된다 (<0.7%). 회로의 전류 I는 옴의 법칙에 따라 저항기 양단의 전압과 동일하게 동작한다.

이러한 결과는 회로를 기술하는 미분방정식을 풀어서도 도출할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {V_{\mathrm {in} }-V_{C}}{R}}&=C{\frac {dV_{C}}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{C}\,.\end{aligned}}}$

첫 번째 방정식은 적분인자를 사용하여 풀 수 있으며 두 번째 방정식은 쉽게 따라온다. 해는 라플라스 변환을 통해 얻은 것과 정확히 동일하다.

적분기

고주파에서 축전기 양단의 출력을 고려하라. 즉,

${\displaystyle \omega \gg {\frac {1}{RC}}\,.}$

이것은 축전기가 충전될 시간이 충분하지 않아서 전압이 매우 작다는 것을 의미한다. 따라서 입력 전압은 저항기 양단의 전압과 거의 같다. 이를 확인하려면 위에서 주어진 ${\displaystyle I}$에 대한 표현을 고려하라.

${\displaystyle I={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R+{\frac {1}{j\omega C}}}}\,,}$

그러나 설명된 주파수 조건은 다음을 의미한다.

${\displaystyle \omega C\gg {\frac {1}{R}}\,,}$

따라서

${\displaystyle I\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}}$

이는 옴의 법칙이다.

이제,

${\displaystyle V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I\,dt\,,}$

따라서

${\displaystyle V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{\mathrm {in} }\,dt\,.}$

그러므로 축전기 양단의 전압은 고주파에 대해 입력 전압의 적분기와 거의 비슷하게 작용한다.

미분기

저주파에서 저항기 양단의 출력을 고려하라. 즉,

${\displaystyle \omega \ll {\frac {1}{RC}}\,.}$

이는 축전기가 전압이 거의 전원 전압과 같아질 때까지 충전할 시간을 갖는다는 것을 의미한다. I에 대한 표현을 다시 고려하면,

${\displaystyle R\ll {\frac {1}{\omega C}}\,,}$

따라서

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{\frac {1}{j\omega C}}}\\V_{\mathrm {in} }&\approx {\frac {I}{j\omega C}}=V_{C}\,.\end{aligned}}}$

이제,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{R}&=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R\\V_{R}&\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

따라서 저항기 양단의 전압은 저주파에 대해 입력 전압의 미분기와 거의 비슷하게 작용한다.

적분과 미분은 연산 증폭기의 입력 및 피드백 루프에 저항기와 축전기를 적절히 배치하여 달성할 수도 있다 (연산 증폭기 적분기 및 연산 증폭기 미분기 참조).

병렬 회로

병렬 RC 회로

병렬 RC 회로는 일반적으로 직렬 회로보다 관심도가 낮다. 이는 주로 출력 전압 V_out이 입력 전압 V_in과 같기 때문이며, 결과적으로 이 회로는 전압 입력 대신 전류 입력에 대한 필터로 작동한다.

복소 온저항으로:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=j\omega CV_{\mathrm {in} }\,.\end{aligned}}}$

이는 축전기 전류가 저항기 (및 전원) 전류와 90° 위상차가 있음을 보여준다. 또는 다음의 지배 미분방정식을 사용할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=C{\frac {dV_{\mathrm {in} }}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

전류원에 의해 공급될 때 병렬 RC 회로의 전달 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {out} }}{I_{\mathrm {in} }}}={\frac {R}{1+sRC}}\,.}$

합성

때때로 s에 주어진 유리 함수로부터 RC 회로를 합성할 필요가 있다. 수동 요소로 합성이 가능하려면 함수는 양실함수여야 한다. RC 회로로 합성하려면 모든 임계 주파수 (극점과 영점)는 음의 실수 축에 있어야 하며, 극점과 영점이 같은 수로 번갈아 나타나야 한다. 또한, 유리 함수가 어드미턴스(admittance)가 아닌 임피던스(impedance)를 나타낸다고 가정할 때, 원점에 가장 가까운 임계 주파수는 극점이어야 한다.

합성은 LC 회로 합성에 사용되는 포스터 합성 또는 카우어 합성의 변형으로 달성할 수 있다. 카우어 합성의 경우 저항과 축전기로 구성된 래더 네트워크가 생성된다.^[3]

같이 보기

• RC 시정수
• RL 회로
• LC 회로
• RLC 회로
• 전기 회로
• 전자공학 주제 목록
• 열잡음 § 축전기의 열잡음 – 저항기가 있는 축전기에 의해 발생하는 kTC 잡음의 유도를 다음과 같이 제공한다.

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}.}$

• 계단 응답