전달 함수

공학에서 전달 함수(transfer function), 전이 함수, 시스템 함수(system function)^[1] 또는 네트워크 함수(network function)는 시스템, 하위 시스템 또는 구성 요소의 각 가능한 입력에 대한 시스템의 출력을 수학적 함수로 모델링한 것이다.^[2][3][4] 이는 전자 회로 시뮬레이션 및 제어 시스템과 같은 전자공학 도구에 널리 사용된다. 간단한 경우, 이 함수는 독립 스칼라 입력과 종속 스칼라 출력의 2차원 그래프로 나타낼 수 있다(전달 곡선 또는 특성 곡선으로 알려져 있음). 구성 요소의 전달 함수는 전자공학 및 제어이론에서 특히 블록 다이어그램 기법을 사용하여 구성 요소로 조립된 시스템을 설계하고 분석하는 데 사용된다.

전달 함수의 차원과 단위는 가능한 입력 범위에 대한 장치의 출력 응답을 모델링한다. 앰프와 같은 2포트 전자 회로의 전달 함수는 입력에 가해지는 스칼라 전압의 함수로서 출력의 스칼라 전압의 2차원 그래프일 수 있다. 전자기 액추에이터의 전달 함수는 장치에 가해지는 전류의 함수로서 가동 팔의 기계적 변위일 수 있다. 광검출기의 전달 함수는 주어진 파장의 입사광의 광도 함수로서 출력 전압일 수 있다.

전달 함수라는 용어는 라플라스 변환과 같은 변환 방법을 사용하는 시스템의 주파수 영역 분석에서도 사용된다. 이는 입력 신호의 진동수 함수로서 출력의 진폭이다. 전자 필터의 전달 함수는 입력에 가해지는 일정한 진폭의 사인파의 진동수 함수로서 출력의 진폭이다. 광학 이미징 장치의 경우, 광학 전달 함수는 점 확산 함수(공간 주파수의 함수)의 푸리에 변환이다.

선형 시불변 시스템

전달 함수는 신호 처리, 커뮤니케이션 이론, 제어이론에서 단일 입력 단일 출력 필터와 같은 시스템 분석에 일반적으로 사용된다. 이 용어는 종종 선형 시불변(LTI) 시스템만을 지칭하는 데 사용된다. 대부분의 실제 시스템은 비선형 입출력 특성을 가지지만, 명목상의 매개변수 내에서 작동하는 많은 시스템(과도하게 구동되지 않음)은 선형에 충분히 가까운 동작을 가지므로 LTI 시스템 이론이 해당 입출력 동작을 허용 가능한 표현으로 사용할 수 있다.

연속 시간

설명은 복소 변수 ${\displaystyle s=\sigma +j\cdot \omega }$를 사용하여 주어진다. 많은 응용에서 ${\displaystyle \sigma =0}$ (따라서 ${\displaystyle s=j\cdot \omega }$)으로 설정하는 것으로 충분하며, 이는 복소 인수를 가진 라플라스 변환을 실수 인수 ω를 가진 푸리에 변환으로 축소시킨다. 이는 주로 LTI 시스템의 정상 상태 응답(종종 신호 처리 및 커뮤니케이션 이론의 경우)에 관심이 있고, 일시적인 켜짐 및 꺼짐 지나가는 반응 또는 안정성 문제는 아닌 응용에서 일반적이다.

연속 시간 입력 신호 ${\displaystyle x(t)}$ 및 출력 ${\displaystyle y(t)}$의 경우, 출력의 라플라스 변환 ${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}$을 입력의 라플라스 변환 ${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}$으로 나누면 시스템의 전달 함수 ${\displaystyle H(s)}$가 얻어진다.

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}}$

이는 다음과 같이 재배열할 수 있다:

${\displaystyle Y(s)=H(s)\;X(s)\,.}$

이산 시간

이산 시간 신호는 정수 ${\displaystyle n}$으로 색인된 배열로 표기될 수 있다(예: 입력의 경우 ${\displaystyle x[n]}$, 출력의 경우 ${\displaystyle y[n]}$). 라플라스 변환(연속 시간 신호에 더 적합함)을 사용하는 대신, 이산 시간 신호는 Z변환을 사용하여 처리된다(해당 대문자로 표기되며, 예를 들어 ${\displaystyle X(z)}$ 및 ${\displaystyle Y(z)}$와 같음). 따라서 이산 시간 시스템의 전달 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다:

$${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y[n]\}}{{\mathcal {Z}}\{x[n]\}}}.}$$

미분 방정식에서 직접 도출

상수 계수를 가진 선형 미분 방정식

${\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}$

여기서 u와 r은 t의 적절하게 매끄러운 함수이며, L은 u를 r로 변환하는 관련 함수 공간에 정의된 연산자이다. 이러한 종류의 방정식은 강제 함수 r의 관점에서 출력 함수 u를 제한하는 데 사용될 수 있다. 전달 함수는 L의 오른쪽 역함수 역할을 하는 연산자 ${\displaystyle F[r]=u}$를 정의하는 데 사용될 수 있으며, 이는 ${\displaystyle L[F[r]]=r}$을 의미한다.

동차 상수 계수 미분 방정식 ${\displaystyle L[u]=0}$의 해는 ${\displaystyle u=e^{\lambda t}}$를 시도하여 찾을 수 있다. 이 대입은 특성 다항식을 생성한다.

${\displaystyle p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,}$

비동차 사례는 입력 함수 r이 ${\displaystyle r(t)=e^{st}}$ 형태일 경우 쉽게 해결할 수 있다. ${\displaystyle u=H(s)e^{st}}$를 대입하여, 다음과 같이 정의하면 ${\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}$가 된다.

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{wherever }}\quad p_{L}(s)\neq 0.}$

전달 함수의 다른 정의도 사용된다. 예를 들어 ${\displaystyle 1/p_{L}(ik).}$^[5]

이득, 지나가는 반응 및 안정성

주파수 ${\displaystyle \omega _{0}/(2\pi )}$를 가진 시스템에 대한 일반적인 사인파 입력은 ${\displaystyle \exp(j\omega _{0}t)}$로 쓸 수 있다. 시간 ${\displaystyle t=0}$에서 시작하는 사인파 입력에 대한 시스템의 응답은 정상 상태 응답과 지나가는 반응의 합으로 구성된다. 정상 상태 응답은 무한 시간의 한계에서 시스템의 출력이며, 지나가는 반응은 응답과 정상 상태 응답의 차이이다. 이는 미분방정식의 동차 해에 해당한다. LTI 시스템의 전달 함수는 다음 곱으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}}$

여기서 s_Pi는 특성 다항식의 N개의 근이며, 전달 함수의 극점이 된다. 단일 극점 ${\displaystyle H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}}$을 가진 전달 함수에서 ${\displaystyle s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}}$일 때, 단위 진폭의 일반 사인파의 라플라스 변환은 ${\displaystyle {\frac {1}{s-j\omega _{0}}}}$가 된다. 출력의 라플라스 변환은 ${\displaystyle {\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}}$가 되며, 시간 출력은 그 함수의 역 라플라스 변환이 된다.

${\displaystyle g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

분자의 두 번째 항은 지나가는 반응이며, 무한 시간의 한계에서 σ_P가 양수이면 무한대로 발산한다. 시스템이 안정적이기 위해서는 전달 함수에 실수부가 양수인 극점이 없어야 한다. 전달 함수가 엄격하게 안정적이면 모든 극점의 실수부는 음수가 되며, 지나가는 반응은 무한 시간의 한계에서 0으로 수렴한다. 정상 상태 출력은 다음과 같다.

${\displaystyle g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

시스템의 주파수 응답 (또는 "이득") G는 출력 진폭 대 정상 상태 입력 진폭의 비율의 절대값으로 정의된다.

${\displaystyle G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}},}$

이는 ${\displaystyle j\omega _{i}}$에서 평가된 전달 함수 ${\displaystyle H(s)}$의 절대값이다. 이 결과는 임의의 수의 전달 함수 극점에 대해 유효하다.

사인파 여기(excitation)에 대한 정상 상태 동작

선형 시스템의 정상 상태 동작

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}+\sum _{j=0}^{m}b_{j}u^{(j)}=0}$

사인파 여기 ${\displaystyle u(t)=\sin(\omega t)}$에 대한 정상 상태 동작은 전달 함수의 형태로 표현될 수 있다.

${\displaystyle g(s)={\frac {b_{m}s^{m}+...+b_{0}}{a_{n}s^{n}+...+a_{0}}},}$

이는 ${\displaystyle s=j\omega }$에서 평가되며, 즉 실수부 ${\displaystyle \sigma =0}$을 가진다.

${\displaystyle y(t)=|g(j\omega )|\sin(\omega t+\arg(g(j\omega ))).}$

이를 보이기 위해 다음 가상 함수를 사용한다.

${\displaystyle y(t)=ce^{j\omega t},}$

이를 위 미분 방정식에 대입하고, ${\displaystyle c}$에 대해 풀면 ${\displaystyle c=g(j\omega )}$가 된다.

복소수 항등식 ${\displaystyle z=|z|e^{j\arg(z)}}$으로부터 이 결과가 도출된다.

신호 처리

${\displaystyle x(t)}$가 일반 선형 시불변 시스템의 입력이고, ${\displaystyle y(t)}$가 출력이며, ${\displaystyle x(t)}$와 ${\displaystyle y(t)}$의 양측 라플라스 변환이

${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt,\\Y(s)&={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt.\end{aligned}}}$

출력은 전달 함수 ${\displaystyle H(s)}$에 의해 입력과 다음과 같이 관련된다.

${\displaystyle Y(s)=H(s)X(s)}$

그리고 전달 함수 자체는

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.}$

만약 진폭 ${\displaystyle |X|}$, 각진동수 ${\displaystyle \omega }$ 및 위상 ${\displaystyle \arg(X)}$를 가진 사인파 성분을 가진 복소수 고조파 신호가 입력되고, 여기서 arg는 편각이다.

${\displaystyle x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}}$

여기서 ${\displaystyle X=|X|e^{j\arg(X)}}$

선형 시불변 시스템에 입력되면, 출력의 해당 성분은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))},\\Y&=|Y|e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}}$

선형 시불변 시스템에서는 입력 진동수 ${\displaystyle \omega }$가 변경되지 않고, 사인파의 진폭과 위상각만 시스템에 의해 변경된다. 주파수 응답 ${\displaystyle H(j\omega )}$는 모든 진동수 ${\displaystyle \omega }$에 대한 이 변화를 이득으로 설명한다.

${\displaystyle G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|}$

그리고 위상 편이(phase shift)는

${\displaystyle \phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega )).}$

위상 지연 (전달 함수에 의해 사인파에 도입되는 주파수 종속 지연량)은 다음과 같다.

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}.}$

군 지연 (전달 함수에 의해 사인파의 포락선에 도입되는 주파수 종속 지연량)은 각진동수 ${\displaystyle \omega }$에 대한 위상 편이의 미분값을 계산하여 얻어진다.

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}.}$

전달 함수는 ${\displaystyle s=j\omega }$인 양측 라플라스 변환의 특수한 경우인 푸리에 변환을 사용하여도 나타낼 수 있다.

일반적인 전달 함수 계열

어떤 LTI 시스템도 특정 전달 함수로 설명될 수 있지만, 특별한 전달 함수 "계열"이 일반적으로 사용된다.

• 버터워스 필터 – 주어진 차수에 대해 통과대역 및 정지대역에서 최대 평탄도
• 체비쇼프 필터 (Type I) – 정지대역에서 최대 평탄도, 동일 차수의 버터워스 필터보다 더 가파른 차단
• 체비쇼프 필터 (Type II) – 통과대역에서 최대 평탄도, 동일 차수의 버터워스 필터보다 더 가파른 차단
• 베셀 필터 – 주어진 차수에 대해 최대 상수 군 지연
• 타원 필터 – 주어진 차수에 대해 가장 가파른 차단(통과대역과 정지대역 사이의 가장 좁은 전이)
• 최적의 "L" 필터
• 가우시안 필터 – 최소 군 지연; 스텝 함수에 대한 오버슈트 없음
• 레이즈드 코사인 필터

제어공학

제어공학 및 제어이론에서 전달 함수는 라플라스 변환으로 도출된다. 전달 함수는 고전 제어공학에서 사용되는 주요 도구였다. 어떤 선형 시스템에 대해서도 동역학과 다른 특성을 분석하기 위해 전달 행렬을 얻을 수 있으며, 전달 행렬의 각 요소는 특정 입력 변수와 출력 변수를 연결하는 전달 함수이다. 하워드 H. 로젠브로크가 상태 공간과 전달 함수 방법 사이를 연결하는 표현을 제안했으며, 이는 로젠브로크 시스템 행렬로 알려져 있다.

이미징

이미징에서 전달 함수는 장면 조명, 이미지 신호 및 표시된 조명 간의 관계를 설명하는 데 사용된다.

비선형 시스템

이완 발진기와 같은 많은 비선형 시스템에는 전달 함수가 존재하지 않는다.^[6] 그러나 기술 함수는 때때로 이러한 비선형 시불변 시스템을 근사하는 데 사용될 수 있다.

같이 보기

• 아날로그 컴퓨터
• 블랙박스
• 보드 선도
• 합성곱
• 뒤아멜의 원리
• 주파수 응답
• 임펄스 응답
• 라플라스 변환
• LTI 시스템 이론
• 나이퀴스트 선도
• 연산 증폭기
• 광학 전달 함수
• 로젠브로크 시스템 행렬
• 반대수 그래프
• 신호 흐름 그래프