Reductio ad absurdum

논리학에서, 불합리합으로의 환원(라틴어: reductio ad absurdum, 영어: reduction to absurdity) 이란, 어떤 주장에 반대되는 상황이 불합리함이나 모순으로 이어지리라는 것을 보임으로써 그 주장을 입증하려고 시도하는 논증의 형태이다. 이를 다르게는 불합리함으로의 논증(라틴어: argumentum ad absurdum, 영어: argument to absurdity) 이나 간접 논증(영어: apagogical argument) 이라고도 한다.^[1][2][3][4]

『Reductio ad absurdum』 1884년에 en:Royal Academy에서 전시된 en:John Pettie의 그림

이 논증 형태는 그 유래가 고대 그리스 철학까지 거슬러 올라가며 역사를 통틀어 형식적인 수학적, 철학적 사유에서뿐만 아니라 토론에서도 사용되어오고 있다. 형식적으로, 이 증명 기법은 "Reductio ad Absurdum"에 대한 공리에 의해 포착되는데, 일반적으로 약어인 RAA로 제시되며 명제 논리에서 표현가능하다. 이 공리는 부정에 대한 도입 규칙이며 (부정 도입 참조) 때때로 명명되어 이 관계를 분명하게 한다. 이것은 연관된 수학적 증명 기법인 귀류법(영어: proof by contradiction)의 결과이다.

예시

reductio ad absurdum의 "불합리한" 결론은 다양한 형태를 취할 수 있으며, 아래의 예시들이 이를 보여준다:

• 지구는 평평할 수 없다. 만약 평평하다면, 지구는 크기상 유한한 것으로 추정되므로, 지구의 끝에서 떨어지는 사람들을 발견하게 될 것이다.
• 가장 작은 양의 유리수 ${\displaystyle q}$는 존재하지 않는다. 만약 존재한다면, ${\displaystyle q/2}$도 유리수일 것이고, 양수일 것이며, ${\displaystyle q/2<q}$일 것이다. 이는 양의 유리수 사이에서의 ${\displaystyle q}$의 가설적인 최소성에 모순되므로, 가장 작은 양의 유리수는 없다는 것이 결론이다.

첫번째 예시는 전제의 부정이 터무니없는 결론으로 이어지리라는 것을 인간의 감각을 증거로 (경험적 증거) 논증하고 있다.^[5] 두번째 예시는 귀류법 (또는 간접 증명^[6]) 에 의한 수학적 증명이며, 전제의 부정이 논리적 모순으로 이어지리라는 것을 논증하고 있다 ("가장 작은" 수가 있고 그것보다 작은 수가 또 있다).^[7]

그리스 철학

reductio ad absurdum은 그리스 철학 전반에서 사용되었다. reductio 논증의 최초의 예시는 크세노파네스 (기원전 570년~475년)의 것으로 알려진 풍자적인 시에서 발견된다.^[8] 인간의 결점을 신들의 탓이라고 보는 호메로스를 비평하면서, 크세노파네스는 한편 인간은 신들이 인간의 모습을 하고 있다는 것을 믿는다고도 말한다. 하지만 만약 말과 황소가 그림을 그릴 수 있다면, 말과 황소는 말과 황소의 모습을 하고 있는 신을 그릴 것이다.^[9] 신은 두 가지의 모습을 동시에 가질 수 없으므로, 이것은 모순이다. 그러므로, 인간의 결점과 같은, 인간의 특징을 신에게 돌리는 것 역시 거짓이다.

그리스 수학자들은 reductio ad absurdum을 사용해 핵심적인 명제들을 증명하였다. 유클리드 (기원전 4세기 중~3세기 중) 와 아르키메데스 (기원전 287년~212년) 가 그러한 예시이다.^[10]

플라톤 (기원전 424년~348년)의 초기 대화록은 소크라테스와의 담론에 대한 것인데 형식적인 변증법적 방법, 즉 문답법(영어: elenchus) 에서의 reductio 논증의 사용을 제기하였다.^[11] 통상적으로, 소크라테스와 대화하는 사람은 문제 없어 보이는 주장을 한다. 그에 응해서, 소크라테스는 단계적인 일련의 추론을 통해, 드러나있지 않은 다른 추정을 드러내면서, 그 사람으로 하여금 그 주장은 불합리하거나 모순적인 결론에 이르게 된다는 것을 인정하게 한다. 이렇게 해서 그가 자신의 주장을 포기하고 아포리아의 태도를 취하도록 만든다.^[6]

이 기법은 또한 아리스토텔레스 (기원전 384년~322년)의 저작의 중점이었는데, 특히 그의 《Prior Analytics》에서 그렇다. 이 책에서 그는 이 기법을 "불가능한 것으로의 입증" (영어: demonstration to the impossible, 고대 그리스어: ἡ εἰς τὸ ἀδύνατον ἀπόδειξις, 62b) 이라고 불렀다.^[4]

이 기법의 또 다른 예시는 더미의 역설 (영어: sorites paradox) 에서 발견된다. 이 역설이 논하는 바는, 만약 1,000,000개의 모래알이 모래더미를 이루고, 여기서 모래알 하나를 뺀 것도 여전히 모래더미라면, 모래알 하나도 (심지어 모래알이 전혀 없는 상태도) 모래더미를 이룬다는 것이다.^[12]

불교 철학

중관파의 많은 부분이 어떻게 다양한 본질주의적 개념이 reductio ad absurdum 논증 (prasaṅga라고 하며, 산스크리트어로 "결과"라는 뜻임) 을 통해 불합리한 결론을 가지는지를 보이는 것에 초점을 맞춘다. 《중론》에서, 나가르주나의 reductio ad absurdum 논증은 물질이나 본질에 관한 어떠한 이론도 지속불가능하며 따라서 변화, 인과 관계, 감각과 같은 현상 (dharmas) 은 어떠한 본질적 존재에 대해서도 비어있다 (sunya). 나가르주나의 주된 목적은 학자들이 보기에는 자성 (svabhava)의 이론을 상정하는 불교의 아비달마 유파 일부 (주로 Vaibhasika) 와 존재론적 대상 (dravyatas)의 이론을 상정하는 힌두교의 니아야 학파와 바이셰시카 학파의 실재론을 논박하는 것이다.^[13]

나가르주나의 《중론》에서의 예시

13.5에서, 나가르주나는 사물이 본질적으로 혹은 내재적으로 존재하다고 추정하는 것의 결과를 입증하기를 바라면서, 만약 "젊은 사람"이 그 자체로 존재한다면, 그는 늙을 수 없다는 결과가 뒤따름을 지적한다 (왜냐하면 그는 더 이상 "젊은 사람"이 아니게 될 것이기 때문이다). 사람으로부터 그 사람의 속성 (즉, 젊음) 을 분리하려고 시도하는 것처럼, 모든 것은 순간적인 변화의 대상이며, "젊은 사람"과 같은 그러한 객체가 의존하는 단지 임의적인 관습 너머에는 아무것도 없다.

13.5

사물 그 자체는 변화하지 않는다.

무언가 다른 것도 변화하지 않는다.

왜냐하면 젊은 사람은 늙지 않기 때문이다.

그리고 왜냐하면 늙은 사람도 늙지 않기 때문이다.^[14]

비모순율

아리스토텔레스는 모순과 거짓 사이의 연관성을 비모순율에서 분명히 했다. 비모순율이란, 명제는 참이면서 동시에 거짓일 수 없다는 것이다.^[15][16] 즉, 명제 ${\displaystyle Q}$와 이 명제의 부정 ${\displaystyle \neg Q}$ (Q가 아님)는 둘 다 참일 수 없다는 것이다. 그러므로, 만약 어떤 명제와 그 명제의 부정이 동시에 어떤 전제로부터 논리적으로 유도될 수 있다면, 그 전제가 거짓이라고 결론내릴 수 있다. 이 기법은 간접 증명 혹은 귀류법^[6]에 의한 증명으로 알려져 있으며, 논리학 및 수학과 같은 형식적인 분야에서 reductio ad absurdum 논증의 기반을 형성하고 있다.

같이 보기

• 대우
• 증명
• 미끄러운 비탈길 논증
• 허수아비 때리기 오류

자료

• Hyde, Dominic; Raffman, Diana (2018). 〈Sorites Paradox〉. Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (영어) Summer 2018판.
• Garfield, Jay L. (1995), 《The Fundamental Wisdom of the Middle Way》, Oxford: Oxford University Press
• Pasti, Mary. Reductio Ad Absurdum: An Exercise in the Study of Population Change. United States, Cornell University, Jan., 1977.
• Daigle, Robert W.. The Reductio Ad Absurdum Argument Prior to Aristotle. N.p., San Jose State University, 1991.