W-대수

수학과 등각 장론에서 W-대수(W-代數, 영어: W-algebra)는 2차원 등각 장론의 무질량 고차 스핀 정칙장에 의해 생성되는 대칭이다.^{[1]:106–111[2][3]} 비라소로 대수를 일반화한다.

정의

스핀 2

스핀 2의 W-대수 ${\displaystyle W_{2}}$는 비라소로 대수라고 한다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장 ${\displaystyle T(z)}$에 의해 생성되며, 비라소로 대수를 정의하는 연산자 곱 전개는 다음과 같다.

${\displaystyle T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+{\frac {1}{2}}cz^{-4}}$

여기서 ${\displaystyle c}$는 비라소로 대수의 중심 원소이다. 이를 수로 간주하면, 이는 등각 장론의 중심 전하가 된다.

스핀 3

스핀 3의 W-대수 ${\displaystyle W_{3}}$는 알렉산드르 자몰롯치코프가 1985년에 발견하였다.^[4] 이는 스핀 2의 정칙 1차장 ${\displaystyle T(z)}$(에너지-운동량 텐서)과 스핀 3의 정칙 1차장 ${\displaystyle W(z)}$를 가지며, 이들 사이의 연산자 곱 전개는 다음과 같다.

${\displaystyle T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+{\frac {1}{2}}cz^{-4}}$

${\displaystyle T(z+w)W(w)=z^{-1}\partial W(w)+3z^{-2}W(w)}$

${\displaystyle W(z)W(w)={\frac {16}{22+5c}}\left(z^{-1}\partial \Lambda +2z^{-2}\Lambda \right)+{\frac {1}{15}}\left(z^{-1}\partial ^{3}T(w)+{\frac {9}{2}}z^{-2}\partial ^{2}T(w)+15z^{-3}\partial T(w)+30z^{-4}T(w)\right)+{\frac {1}{3}}cz^{-6}}$

여기서 ${\displaystyle \Lambda }$는 다음과 같이 정의되는 스핀-4 연산자이다.

${\displaystyle \Lambda (z)=:TT:(z)-{\frac {3}{10}}\partial ^{2}T(z)}$

여기서 ${\displaystyle$ :\cdots :} 는 표준 순서를 나타낸다.

${\displaystyle W_{3}}$에 대해서도 일련의 유니터리 최소 모형을 정의할 수 있으며, 이들의 중심 전하는 다음과 같다.^[1]:109

${\displaystyle c=2\left(1-{\frac {12}{(k+3)(k+4)}}\right)}$

${\displaystyle k=1,2,3,\dots }$

특히, ${\displaystyle k=1}$인 경우(${\displaystyle c=4/5}$)는 임계 3상태 포츠 모형으로, 이는 ${\displaystyle m=5}$인 비라소로 최소 모형과 같다.

일반적인 스핀

일반적으로, 모든 ${\displaystyle N\geq 2}$에 대하여, 스핀-N W-대수 ${\displaystyle W_{N}}$이 존재한다. 이 경우 구체적인 연산자 곱 전개는 매우 복잡하다.

W-대수 ${\displaystyle W_{N}}$은 총 ${\displaystyle N-1}$개의 정칙 연산자들 ${\displaystyle T,W^{(3)},W^{(4)},\dots ,W^{(N)}}$을 포함한다. 이들의 스핀은 각각 ${\displaystyle 2,3,\dots ,N}$이며, ${\displaystyle T}$와 ${\displaystyle W^{(3)}}$는 1차 연산자이지만 ${\displaystyle W^{(4)},W^{(5)},\dots }$는 준1차(quasiprimary) 연산자이다. 이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+{\frac {1}{2}}cz^{-4}}$

${\displaystyle T(z+w)W^{(s)}(w)\sim z^{-1}\partial W^{(s)}(w)+sz^{-2}W^{(s)}(w)+W^{(s-2)}(w)+W^{(s-4)}(w)+\cdots (s=3,\dots ,N)}$

${\displaystyle W^{(s)}(z+w)W^{(s')}(w)\sim W^{(s+s'-2)}+W^{(s+s'-4)}+\cdots +c\delta _{s-s'}}$

여기서, 마지막 두 공식에서는 상수 계수나 ${\displaystyle z^{-k}}$ 및 ${\displaystyle \partial ^{k}}$ 등을 생략하였다.

무한 스핀 W-대수

유한한 ${\displaystyle N}$에 대한 ${\displaystyle W_{N}}$ 말고도, 2 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 ${\displaystyle W_{\infty }}$와, 1 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 ${\displaystyle W_{1+\infty }}$가 존재한다.^[2]