무어 공간 (대수적 위상수학)

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대수적 위상수학에서 무어 공간(Moore space)과 피터슨 공간(Peterson space)은 특정 차수를 제외한 호몰로지 군(코호몰로지 군)이 모두 자명군인 위상 공간이다. 호몰로지 · 코호몰로지 군에 대한 에일렌베르크-매클레인 공간과 비슷한 개념이다.

정의

아벨 군 ${\displaystyle G}$와 양의 정수 ${\displaystyle n\geq 1}$에 대하여 무어 공간 ${\displaystyle M(G,n)}$은 다음과 같은 축소 호몰로지 군을 갖는 위상 공간이다.

${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(M(G,n))={\begin{cases}G&k=n\\0&k\neq n\end{cases}}}$

아벨 군 ${\displaystyle G}$와 양의 정수 ${\displaystyle n\geq 1}$에 대하여 피터슨 공간 ${\displaystyle P(G,n)}$은 다음과 같은 축소 코호몰로지 군을 갖는 위상 공간이다.

${\displaystyle {\tilde {H}}^{i}(P(G,n))={\begin{cases}G&k=n\\0&k\neq n\end{cases}}}$

문헌에 따라 양쪽 모두 단순 연결 공간이라는 조건이 더 붙기도 한다.

성질

존재성

${\displaystyle G}$가 유한 생성 아벨 군일 경우 무어 공간 ${\displaystyle M(G,n)}$은 항상 만들 수 있다.^{[1]:Example 2.40}

피터슨 공간은 모든 ${\displaystyle (G,n)}$에 대해서 항상 존재하지는 않는다. 하지만 만약 ${\displaystyle G}$가 유한 생성 아벨 군이며 ${\displaystyle n\geq 2}$라면 피터슨 공간 ${\displaystyle P(G,n)}$은 항상 존재하며, 추가로 ${\displaystyle n\geq 3}$이라면 그 호모토피 유형은 ${\displaystyle (G,n)}$에 의하여 유일하게 결정된다.^[2]:§6

예

• ${\displaystyle M(\mathbb {Z} ,n)\cong S^{n}}$
• ${\displaystyle M(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,1)\cong \mathbb {RP} ^{2}}$

역사

무어 공간은 1954년 존 콜먼 무어가 언급하였다.^[3]:550 1956년 프랭클린 폴 피터슨은 계수가 있는 코호모토피 군을 연구하기 위해 무어 공간을 이용했다.^[4]:262

같이 보기

• 에일렌베르크-매클레인 공간