배위 공간 (고전역학)

고전역학에서 시스템의 배위를 정의하는 매개변수를 일반화 좌표라고 하며, 이러한 좌표로 정의된 공간을 물리계의 배위 공간(configuration space)이라고 한다. 종종 이러한 매개변수는 수학적 제약을 만족하여 시스템의 실제 배위 집합이 일반화 좌표 공간의 다양체를 이룬다. 이 다양체를 시스템의 배위 다양체라고 한다. 이는 "무제한적인" 배위 공간의 개념, 즉 서로 다른 점 입자가 같은 위치를 차지할 수 있는 개념에 주목한다. 수학, 특히 위상수학에서는 "충돌하는" 입자를 나타내는 대각선이 제거된 "제한된" 배위 공간의 개념이 주로 사용된다.

예시

3D 공간의 입자

일반적인 유클리드 3차원 공간에서 움직이는 단일 입자의 위치는 벡터 ${\displaystyle q=(x,y,z)}$로 정의되므로, 그 배위 공간은 ${\displaystyle Q=\mathbb {R} ^{3}}$이다. 배위 공간의 점에 대해 기호 ${\displaystyle q}$를 사용하는 것이 관례이며, 이는 해밀턴 역학 및 라그랑주 역학 모두에서 사용되는 관례이다. 기호 ${\displaystyle p}$는 운동량을 나타내는 데 사용된다. 기호 ${\displaystyle {\dot {q}}=dq/dt}$는 속도를 의미한다.

입자는 특정 다양체 위에서 움직이도록 제약될 수 있다. 예를 들어, 입자가 원점을 중심으로 자유롭게 흔들릴 수 있는 강체 연결부에 부착되어 있다면, 사실상 구 위에서 움직이도록 제약된다. 그 배위 공간은 구 ${\displaystyle S^{2}}$ 위의 점을 정의하는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 내 좌표의 부분집합이다. 이 경우 다양체 ${\displaystyle Q}$는 구, 즉 ${\displaystyle Q=S^{2}}$라고 말한다.

연결되지 않고 상호작용하지 않는 n개의 점 입자의 경우, 배위 공간은 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3n}}$이다. 그러나 일반적으로 입자가 상호작용하는 경우에 관심이 있다. 예를 들어, 기어, 도르래, 구르는 공 등의 일부 조립체에서 특정 위치에 있으며 종종 미끄러지지 않고 움직이도록 제약된다. 이 경우 배위 공간은 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3n}}$ 전체가 아니라 점들이 취할 수 있는 허용 가능한 위치의 부분 공간(부분 다양체)이다.

3D 공간의 강체

3차원 공간에서 강체의 기준점 위치와 강체에 부착된 좌표계의 방향을 정의하는 좌표 집합은 그 배위 공간을 형성하며, 종종 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)}$로 표기된다. 여기서 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$는 강체에 부착된 프레임의 원점 좌표를 나타내고, ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$는 지상 프레임에 대한 이 프레임의 방향을 정의하는 회전 행렬을 나타낸다. 강체의 배위는 세 개의 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 매개변수와 세 개의 ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ 매개변수로 정의되며, 여섯 개의 자유도를 가진다고 한다.

이 경우 배위 공간 ${\displaystyle Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)}$는 6차원이며, ${\displaystyle q\in Q}$는 단순히 그 공간의 한 점이다. 해당 배위 공간에서 ${\displaystyle q}$의 "위치"는 일반화 좌표를 사용하여 설명된다. 따라서 세 개의 좌표는 강체의 질량 중심 위치를 설명할 수 있고, 세 개의 다른 좌표는 그 방향을 설명하는 오일러 각이 될 수 있다. 좌표에 대한 표준적인 선택은 없으며, 질량 중심 대신 강체의 일부 끝점이나 끝점을 선택할 수도 있고, 오일러 각 대신 사원수를 사용할 수도 있다. 그러나 매개변수화는 시스템의 역학적 특성을 변경하지 않는다. 모든 다른 매개변수화는 궁극적으로 동일한 (6차원) 다양체, 즉 가능한 위치 및 방향의 동일한 집합을 설명한다.

일부 매개변수화는 다른 것보다 다루기 쉽고, 좌표 없는 방식으로 작업하여 많은 중요한 진술을 할 수 있다. 좌표 없는 진술의 예로는 접공간 ${\displaystyle TQ}$가 점 ${\displaystyle q\in Q}$의 속도에 해당하고, 공변접공간 ${\displaystyle T^{*}Q}$가 운동량에 해당한다는 것이다. (속도와 운동량은 연결될 수 있다. 가장 일반적이고 추상적인 경우, 이는 따름 1차 형식이라는 다소 추상적인 개념으로 이루어진다.)

로봇 팔

 짜임새 공간 § 기계적 연결의 짜임새 공간 문서를 참고하십시오.

수많은 강체 연결부로 구성된 로봇 팔의 경우, 배위 공간은 각 연결부의 위치(위 섹션에서와 같이 강체로 간주됨)로 구성되며, 연결부들이 서로 어떻게 부착되어 있는지와 허용되는 동작 범위에 대한 제약을 받는다. 따라서 ${\displaystyle n}$개의 연결부가 있을 때, 다음과 같은 전체 공간을 고려할 수 있다. $${\displaystyle \left[\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)\right]^{n}}$$ 그러나 모든 다양한 부착물과 제약은 이 공간의 모든 점에 도달할 수 없음을 의미한다. 따라서 배위 공간 ${\displaystyle Q}$는 필연적으로 ${\displaystyle n}$개의 강체 배위 공간의 부분 공간이다.

그러나 로봇공학에서 "배위 공간"이라는 용어는 로봇의 말단 효과기가 도달할 수 있는 위치 집합이라는 더 축소된 부분집합을 가리킬 수도 있다.^[1] 하지만 이 정의는 홀로노미로 설명되는 복잡성을 초래한다. 즉, 특정 말단 효과기 위치를 얻기 위해 로봇 팔을 배열하는 여러 가지 방법이 있을 수 있으며, 말단 효과기를 고정한 채로 로봇 팔을 움직이는 것도 가능하다. 따라서 운동학에 적합한 팔의 완전한 설명은 일부만으로는 안 되고 모든 관절 위치와 각도를 명시해야 한다.

로봇의 관절 매개변수는 배위를 정의하는 일반화 좌표로 사용된다. 관절 매개변수 값의 집합을 관절 공간이라고 한다. 로봇의 정기구학 및 역기구학 방정식은 배위와 말단 효과기 위치 사이, 또는 관절 공간과 배위 공간 사이의 사상을 정의한다. 로봇 운동 계획은 이 매핑을 사용하여 말단 효과기의 배위 공간에서 달성 가능한 경로를 제공하는 관절 공간의 경로를 찾는다.

공식 정의

고전역학에서 시스템의 배위는 시스템을 구성하는 모든 점 입자의 위치를 의미한다.^[2]

위상 공간

배위 공간은 역학계를 완전히 설명하기에 불충분하다. 속도를 고려하지 못하기 때문이다. 시스템에 사용할 수 있는 속도 집합은 시스템의 배위 다양체에 접하는 평면을 정의한다. 점 ${\displaystyle q\in Q}$에서 해당 접평면은 ${\displaystyle T_{q}Q}$로 표시된다. 운동량 벡터는 공변접 벡터로 알려진 접평면의 선형 범함수이다. 점 ${\displaystyle q\in Q}$의 경우 해당 공변접 평면은 ${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$로 표시된다. 역학계의 위치와 운동량 집합은 배위 다양체 ${\displaystyle Q}$의 공변접다발 ${\displaystyle T^{*}Q}$를 형성한다. 이 더 큰 다양체를 시스템의 위상 공간이라고 한다.

양자 상태 공간

 사영 힐베르트 공간 및 위그너 정리 문서를 참고하십시오.

양자역학에서는 배위 공간이 사용될 수 있지만(예: 모트 문제 참조), 고전역학의 위상 공간 확장은 사용할 수 없다. 대신, 양자 상태 공간이라는 유사한 개념에서는 다소 다른 형식주의와 표기법 집합이 사용된다. "점 입자"의 아날로그는 블로흐 구면으로도 알려진 복소 사영선인 ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$의 단일 점이 된다. 양자역학적 파동 함수가 복소 위상을 가지기 때문에 복소수이며, 파동 함수가 단위 확률로 정규화되기 때문에 사영적이다. 즉, 파동 함수 ${\displaystyle \psi }$가 주어졌을 때 총 확률 ${\textstyle \int \psi ^{*}\psi }$로 자유롭게 정규화하여 사영적으로 만들 수 있다.

같이 보기

• 특징 공간 (패턴 인식의 주제)
• 매개변수 공간
• 짜임새 공간