보편 계수 정리

대수적 위상수학에서 보편 계수 정리(普遍係數定理, 영어: universal coefficient theorem)는 정수 계수 호몰로지 또는 코호몰로지로부터 다른 모든 아벨 군 계수의 (코)호몰로지를 계산할 수 있다는 정리이다.

정의

호몰로지 보편 계수 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle R}$-가군 ${\displaystyle M}$
• 각 성분이 ${\displaystyle R}$-평탄 가군인 사슬 복합체 ${\displaystyle (C_{\bullet },\partial )}$

호몰로지 보편 계수 정리에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=\operatorname {Tor} _{p}^{R}(\operatorname {H} _{q}(C_{\bullet }),M)\Rightarrow _{p}\operatorname {H} _{p+q}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)}$

여기서 Tor는 Tor 함자이다.

특히, ${\displaystyle R}$가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle p\geq 2}$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}^{R}=0}$이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.^{[1]:47, Theorem 2.34}

${\displaystyle 0\to \operatorname {H} _{i}(X;R)\otimes _{\mathbb {Z} }M=\operatorname {Tor} _{0}^{R}\left(\operatorname {H} _{i}(X;R),M\right)\to \operatorname {H} _{i}(X;M)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}\left(\operatorname {H} _{i}(X;\mathbb {Z} ),M\right)\to 0}$

그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(X;M)}$은 다음과 같은 상승 여과를 갖는다.

${\displaystyle {\frac {F_{p}\operatorname {H} _{i}(X;M)}{F_{p-1}\operatorname {H} _{i}(X;M)}}=\operatorname {Tor} _{p}^{R}\left(\operatorname {H} _{i}(X;R),M\right)}$

특히, ${\displaystyle R}$가 주 아이디얼 정역이며 추가로 ${\displaystyle M}$이 평탄 가군이라고 하자. (만약 ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$라면, 이는 ${\displaystyle M}$이 꼬임 부분군이 없는 아벨 군이라는 조건이다.) 그렇다면 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(-,M)=0}$이며, 따라서

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(X;R)\otimes _{\mathbb {Z} }M\cong \operatorname {H} _{i}(X;M)}$

이다.

코호몰로지 보편 계수 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle R}$-가군 ${\displaystyle M}$
• 각 성분이 ${\displaystyle R}$-자유 가군인 사슬 복합체 ${\displaystyle (C_{\bullet },\partial )}$

코호몰로지 보편 계수 정리에 따르면, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {Ext} _{R}^{p}(\operatorname {H} _{q}(X;R),M)\Rightarrow _{p}\operatorname {H} ^{p+q}(X;M)}$

여기서 Ext는 Ext 함자이다.

특히, ${\displaystyle R}$가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle p\geq 2}$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{p}=0}$이다. 따라서, 이 스펙트럼 열은 2번째 쪽에서 퇴화하며, 다음과 같은 분할 완전열이 존재한다.^{[1]:44, Theorem 2.29}

${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}\left(\operatorname {H} _{i-1}(C_{\bullet }),M\right)\to \operatorname {H} ^{1}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)\to \hom _{R}\left(\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }),M\right)=\operatorname {Ext} _{R}^{0}\left(\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }),M\right)\to 0}$

그러나 이 분할은 자연스럽지 못하다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)}$은 다음과 같은 하강 여과를 갖는다.

${\displaystyle {\frac {F^{p}\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)}{F^{p+1}\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)}}=\operatorname {Ext} _{R}^{p}\left(\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }),M\right)}$

특히, ${\displaystyle R}$가 주 아이디얼 정역이며 추가로 ${\displaystyle M}$이 단사 가군이라고 하자. (만약 ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$라면, 이는 ${\displaystyle M}$이 나눗셈군이라는 조건이다.) 그렇다면 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(-,M)=0}$이며, 따라서

${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(C_{\bullet }\otimes _{R}M)\cong \hom _{R}\left(\operatorname {H} _{i}(C_{\bullet }),M\right)}$

이다.