부대칭 행렬

수학에서 부대칭 행렬(副對稱行列, 영어: secondary symmetric matrix, persymmetric matrix) 또는 반대각선 대칭 행렬(反對角線對稱行列, 영어: skew-diagonal symmetric matrix)은 왼쪽 아래와 오른쪽 위를 잇는 대각선에 대하여 대칭인 정사각 행렬이다.^[1][2][3]

5 × 5 반대각선 대칭행렬의 예

정의

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 교환 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle J\in \operatorname {Mat} (n;K)}$

${\displaystyle J_{ij}=\delta _{i,n+1-j}={\begin{cases}1&i=n+1-j\\0&i\neq n+1-j\end{cases}}}$

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}$의 부전치(副轉置, 영어: secondary transpose)는 ${\displaystyle JM^{\top }J}$이다. 여기서 ${\displaystyle M^{\top }}$은 전치 행렬이다. 이는 ${\displaystyle M}$을 부대각선에 대하여 전치한 것과 같다. 즉, 각 ${\displaystyle i,j}$에 대하여

${\displaystyle (JM^{\top }J)_{ij}=M_{n+1-j,n+1-i}}$

이다.

부전치를 사용하여 다음과 같은 행렬의 종류들을 정의할 수 있다.

• 만약 ${\displaystyle JM^{\top }J=M}$라면, ${\displaystyle M}$을 부대칭 행렬이라고 한다.^[1][2]
• 만약 ${\displaystyle M}$이 대칭 행렬이면서 부대칭 행렬이라면, ${\displaystyle M}$을 쌍대칭 행렬(雙對稱行列, 영어: bisymmetric matrix)이라고 한다.^[2]
• 만약 ${\displaystyle JM^{\top }J=-M}$라면, ${\displaystyle M}$을 부반대칭 행렬(反副對稱行列, 영어: secondary skew-symmetric matrix, per-antisymmetric matrix)이라고 한다.^[2]
• 만약 ${\displaystyle JM^{\top }J=M^{-1}}$라면, ${\displaystyle M}$을 부직교 행렬(副直交行列, 영어: secondary orthogonal matrix)이라고 한다.

2차 자기 동형 ${\displaystyle {\bar {\quad }}}$을 갖는 체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}$의 부켤레 전치(副-轉置, 영어: secondary conjugate transpose)는 ${\displaystyle JM^{\dagger }J}$이다. 여기서 ${\displaystyle M^{\dagger }}$는 켤레 전치이다. 이는 ${\displaystyle M}$을 부대각선에 대하여 켤레 전치한 것과 같다. 즉, 각 ${\displaystyle i,j}$에 대하여

${\displaystyle (JM^{\dagger }J)_{ij}={\overline {M_{n+1-j,n+1-i}}}}$

이다.

부켤레 전치를 사용하여 다음과 같은 행렬의 종류들을 정의할 수 있다.

• 만약 ${\displaystyle JM^{\dagger }J=M}$라면, ${\displaystyle M}$을 부에르미트 행렬(副-行列, 영어: secondary Hermitian matrix, per-Hermitian matrix)이라고 한다.^[2]
• 만약 ${\displaystyle JM^{\dagger }J=-M}$라면, ${\displaystyle M}$을 부반에르미트 행렬(副-行列, 영어: secondary skew-Hermitian matrix)이라고 한다.
• 만약 ${\displaystyle JM^{\dagger }J=M^{-1}}$라면, ${\displaystyle M}$을 부유니터리 행렬(副-行列, 영어: secondary Unitary matrix)이라고 한다.
• 만약 ${\displaystyle M(JM^{\dagger }J)=(JM^{\dagger }J)M}$라면, ${\displaystyle M}$을 부정규 행렬(副正規行列, 영어: secondary normal matrix)이라고 한다.

성질

연산에 대한 닫힘

쌍대칭 행렬의 합, 곱, 역행렬, 전치 행렬, 부전치는 쌍대칭 행렬이다.^[2]

같이 보기

• 중심대칭행렬