할바흐 배열

할바흐 배열(Halbach array)은 자석의 특별한 배열로서, 배열의 한쪽 면에서는 자기장을 증가시키고 다른 쪽 면에서는 자기장을 거의 0으로 상쇄시킨다.^[1][2] 이는 공간적으로 회전하는 자화 패턴을 통해 이루어진다.

할바흐 배열의 자속도

각 조각의 자기장 방향을 보여주는 할바흐 배열. 이 배열은 아래에 강한 자기장을 생성하고 위쪽 자기장은 상쇄된다.

회전하는 영구 자석 패턴(정면; 왼쪽, 위, 오른쪽, 아래)은 무한히 계속될 수 있으며 동일한 효과를 낸다. 이 배열의 효과는 유사한 극이 서로 닿도록 여러 개의 말굽 자석을 서로 인접하게 배치한 것과 대략 비슷하다.

이러한 자기 방향 프로세스는 자기 녹음 테이프 헤드가 녹음 과정에서 자기 테이프 코팅에 적용하는 프로세스를 재현한다. 이 원리는 1970년 마그네판의 제임스(짐) M. 와이니(James (Jim) M. Winey)에 의해 일측면 줄무늬 코일에 의해 유도되는 연속적으로 회전하는 자화의 이상적인 경우에 대해 추가적으로 설명되었다.^[3]

이 효과는 1973년 존 C. 맬린슨에 의해 발견되었으며, 이 "일측면 자속" 구조는 처음에는 그에 의해 "호기심"으로 묘사되었지만, 당시 그는 이 발견을 통해 자기 테이프 기술의 상당한 개선 가능성을 인식했다.^[4]

물리학자 클라우스 할바흐는 1980년대 로런스 버클리 국립연구소에 있는 동안 입자 가속기 빔을 집중시키기 위해 할바흐 배열을 독자적으로 발명했다.^[5]

선형 배열

선형 할바흐 배열에서 강한 면과 약한 면의 방향

자기화

자기장 성분의 상쇄로 인한 일측면 자속

선형 할바흐 배열의 자기장 분포는 단순 자석이나 솔레노이드에 익숙한 사람들에게는 다소 직관적이지 않게 보일 수 있다. 이러한 자속 분포의 이유는 맬린슨의 원래 다이어그램을 사용하여 시각화할 수 있다(맬린슨의 논문에 있는 다이어그램과는 달리 음의 y 성분을 사용한다).^[4] 이 다이어그램은 y 방향(왼쪽 위)과 x 방향(오른쪽 위)으로 번갈아 자화된 강자성 재료 스트립에서 나오는 자기장을 보여준다. 평면 위의 자기장은 두 구조 모두에서 같은 방향이지만, 평면 아래의 자기장은 반대 방향이다. 이 두 구조를 중첩시켰을 때의 효과가 그림에 나타나 있다.

가장 중요한 점은 자속이 평면 아래에서는 상쇄되고 평면 위에서는 강화된다는 것이다. 실제로 자화의 구성 요소가 서로 ${\displaystyle \pi /2}$ 위상차를 갖는 모든 자화 패턴은 일측면 자속을 발생시킨다. 일부 함수의 모든 구성 요소의 위상을 ${\displaystyle \pi /2}$만큼 이동시키는 수학적 변환을 힐베르트 변환이라고 한다. 따라서 자화 벡터의 구성 요소는 모든 힐베르트 변환 쌍일 수 있다(가장 간단한 것은 위 다이어그램에 표시된 것처럼 단순히 ${\displaystyle \sin(x)\cos(y)}$이다).

무한 할바흐 입방 자석 배열 주위의 자기장. 개별 자석으로 인해 자기장이 완벽하게 상쇄되지 않는다.

이상적인, 연속적으로 변화하는, 무한 배열의 비상쇄면에서의 자기장은 다음과 같은 형태를 갖는다.^[6]

${\displaystyle F(x,y)=F_{0}e^{ikx}e^{-ky},}$

여기서

${\displaystyle F(x,y)}$는 ${\displaystyle F_{x}+iF_{y}}$ 형태의 자기장이며,

${\displaystyle F_{0}}$는 배열 표면에서의 자기장 크기,

${\displaystyle k}$는 파수(즉, 공간 주파수) ${\displaystyle 2\pi /\lambda .}$

응용

일측면 자속 분포의 장점은 두 가지이다:

• 자속이 국한된 면에서는 자기장이 두 배로 커진다(이상적인 경우).
• 반대편에는 표유 자기장이 생성되지 않는다(이상적인 경우). 이는 자기장 고정에 도움이 되며, 일반적으로 자기 구조 설계에서 문제되는 부분이다.

따라서 평면형 냉장고 자석부터 브러시리스 직류전동기, 보이스 코일^[7], 자기 약물 표적화^[8]와 같은 산업 응용 분야, 그리고 입자 가속기와 자유 전자 레이저에 사용되는 위글러 자석과 같은 첨단 응용 분야에 이르기까지 다양한 용도로 사용된다.

인덕트랙 자기부상열차^[9] 및 인덕트랙 로켓 발사 시스템^[10]은 할바흐 배열을 이용하여 트랙의 와이어 루프를 밀어내어 열차를 들어 올린다.

평평한 냉장고 자석의 자화를 보여주는 자성 필름

평평하고 유연한 (단단한 세라믹 페라이트가 아닌) 냉장고 자석은 균일한 자화에 의한 자력보다 평평한 강자성 표면(예: 냉장고 문)에 부착될 때 더 강한 고정력을 위해 할바흐 자화 패턴으로 만들어진다. 이 자석은 유연한 결합제(예: 플라스틱 또는 고무)에 혼합된 분말 페라이트로 만들어지며, 압출성형 시 할바흐 자화장 패턴에 노출되어 자성 복합체의 페라이트 입자에 이러한 일측면 자속 분포를 영구적으로 부여한다(자성 필름으로 볼 수 있다).

평평한 냉장고 자석의 자속 분포

자유 전자 레이저의 개략도

이 디자인을 확장하고 상단 시트를 추가하면 싱크로트론 및 자유 전자 레이저에 사용되는 위글러 자석이 된다. 위글러 자석은 자기장에 수직으로 전자 빔을 흔들거나 진동시킨다. 전자가 가속을 받음에 따라 비행 방향으로 전자기 에너지를 방출하고, 이미 방출된 빛과 상호 작용하면서 그 선을 따라 광자가 위상에 맞춰 방출되어 "레이저와 같은" 단색성 및 일관성 빔을 생성한다.

위에 표시된 디자인은 일반적으로 할바흐 위글러라고 알려져 있다. 자화된 시트의 자화 벡터는 서로 반대 방향으로 회전한다. 위쪽 시트의 자화 벡터는 시계 방향으로 회전하고, 아래쪽 시트의 자화 벡터는 반시계 방향으로 회전한다. 이 디자인은 시트에서 나오는 자기장의 x 성분이 상쇄되고 y 성분이 강화되도록 선택되어 자기장이 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle H_{y}\approx \cos(kx),}$

여기서 k는 동일한 자화 벡터를 갖는 자기 블록 사이의 간격으로 주어지는 자기 시트의 파수이다.

가변 선형 배열

축에 수직으로 자화된 일련의 자기 막대로 구성된 할바흐 배열의 개략도

가변 할바흐 배열을 위한 등속 기어 배열

축에 수직으로 자화된 일련의 자기 막대를 할바흐 배열로 배열할 수 있다. 각 막대를 번갈아 90° 회전시키면, 그림에 개략적으로 표시된 것처럼 결과적인 자기장이 막대 평면의 한쪽에서 다른 쪽으로 이동한다.

이 배열은 막대의 회전에 따라 막대 평면 위 또는 아래에서 자기장을 효과적으로 켜거나 끌 수 있게 한다. 이러한 장치는 전력이 필요 없는 효율적인 기계적 자기 래치를 만든다. 이 배열에 대한 자세한 연구에 따르면, 각 막대는 회전 시 이웃 막대들로부터 강한 토크를 받게 된다.^[11] 그러나 각 막대를 번갈아 회전시킬 수 있는 안정화 기능과 효율적인 솔루션은 그림에 표시된 것처럼 각 막대에 등속 기어 배열을 제공하는 것이다.

실린더

다양한 자화 패턴과 자기장을 보여주는 강자성 실린더

실린더 자화

할바흐 실린더는 강자성 물질로 구성된 자화된 실린더로, (이상적인 경우) 실린더 내부에 완전히 국한된 강렬한 자기장을 생성하고 외부에는 자기장이 0이다. 실린더는 또한 자기장이 완전히 실린더 외부에 있고 내부에는 자기장이 0이 되도록 자화될 수 있다. 여러 자화 분포가 그림에 나와 있다.

실린더 축에 수직인 평면에서 강자성 물질 내부의 자화 방향은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle M=M_{r}\left[\cos \left((k-1)\left(\varphi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\widehat {\rho }}+\sin \left((k-1)\left(\varphi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\widehat {\varphi }}\right],}$

여기서 M_r은 강자성 잔류 자기 (A/m)이다. k−1의 양수 값은 내부 자기장을 생성하고, 음수 값은 외부 자기장을 생성한다.

이상적으로, 이러한 구조는 자화 방향이 연속적으로 변하는 무한 길이의 자기 물질 실린더로 만들어질 것이다. 이 이상적인 설계에 의해 생성된 자기 선속은 완벽하게 균일하며 실린더 내부 또는 실린더 외부에 완전히 국한될 것이다. 물론 무한 길이의 이상적인 경우는 실현 불가능하며, 실제로는 유한 길이의 실린더는 끝 효과를 생성하여 자기장에 불균일성을 유발한다.^[12][13] 연속적으로 변하는 자화를 가진 실린더를 제조하는 어려움 또한 일반적으로 설계가 세그먼트로 분할되는 원인이 된다.

응용

이러한 원통형 구조는 브러시리스 교류 모터, 자기 커플링 및 고자기장 실린더와 같은 장치에 사용된다. 브러시리스 모터와 커플링 장치 모두 다극 자기장 배열을 사용한다.

• 브러시리스 모터 또는 교류 발전기는 일반적으로 모든 자속이 보어의 중심에 국한되는(위의 k = 4, 6극 로터와 같은) 원통형 설계를 사용하며, 교류 코일도 보어 내부에 포함된다. 이러한 자체 차폐 모터 또는 교류 발전기 설계는 기존 모터 또는 교류 발전기 설계보다 효율적이며 더 높은 토크 또는 출력을 생성한다.
• 자기 커플링 장치는 자기적으로 투명한 장벽(즉, 장벽이 비자성이거나 자성이지만 인가된 자기장의 영향을 받지 않음)을 통해 토크를 전달한다. 예를 들어, 밀폐된 용기 또는 가압 용기 사이에서. 최적의 토크 커플링은 반대 방향의 +k 및 -k 자속 자화 패턴을 가진 한 쌍의 동축 중첩 실린더로 구성된다. 이는 무한히 긴 실린더에 대한 유일한 토크 생성 시스템이기 때문이다.^[14] 최저 에너지 상태에서는 내부 실린더의 외부 자속이 외부 실린더의 내부 자속과 정확히 일치한다. 이 상태에서 한 실린더를 다른 실린더에 대해 회전시키면 복원 토크가 발생한다.
• 원통형 할바흐 배열은 MRI 스캐너에 사용된다.^[15] 이들은 상대적으로 가볍고, 저~중 자기장 시스템을 제공하며, 저온학이 필요 없고, 작은 주변 자기장만 생성하며, 전력이나 방열 요구 사항이 없다.^[16] 또한 감소된 표유 자기장은 안전성을 높이고 주변 전자 장치와의 간섭을 최소화한다.^[17]

균일 자기장

할바흐 실린더 내부의 균일 자기장

k = 2의 특수 경우에 대해, 보어 내부의 자기장은 균일하며 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle H=M_{r}\ln \left({\frac {R_{\text{o}}}{R_{\text{i}}}}\right){\widehat {y}},}$

여기서 내부 및 외부 실린더 반경은 각각 R_i와 R_o이다. H는 y 방향이다. 이것이 할바흐 실린더의 가장 간단한 형태이며, 외부 반경 대 내부 반경의 비율이 e보다 크면 보어 내부의 자속이 실린더를 만드는 데 사용된 자기 재료의 잔류 자기를 실제로 초과한다는 것을 알 수 있다. 그러나 사용된 영구 자석의 보자성을 초과하는 자기장을 생성하지 않도록 주의해야 한다. 이는 실린더의 감자 및 의도했던 것보다 훨씬 낮은 자기장을 생성할 수 있기 때문이다.^[18][19]

중앙 공극 내부에 균일한 자기장을 생성하는 세 가지 디자인 (A) (B) (C)

이 원통형 디자인은 영구 자석 배열 내의 공동 내부에 균일한 자기장을 생성하는 디자인 클래스 중 하나일 뿐이다. 다른 디자인 클래스에는 아벨레(Abele)와 젠슨(Jensen)이 제안한 쐐기 디자인이 포함되며, 이 디자인에서는 자화된 물질의 쐐기가 그림과 같이 디자인 내부의 공동 내부에 균일한 자기장을 제공하도록 배열된다.

(A)에서 쐐기의 자화 방향은 아벨레가 제시한 규칙 세트를 사용하여 계산할 수 있으며, 공동의 모양에 대한 큰 자유도를 허용한다. 또 다른 디자인 클래스는 코이(Coey)와 쿠가트(Cugat)가 제안한 자기 맹글(B)^[20][21]로, 균일하게 자화된 막대가 6개 막대 디자인에서 보여지는 것처럼 할바흐 실린더의 자화와 일치하도록 배열된다. 이 디자인은 균일 자기장 영역에 대한 접근성을 크게 높이는 대신, 균일 자기장 부피가 원통형 디자인보다 작아진다(그러나 이 영역은 구성 막대의 수를 늘려 더 크게 만들 수 있다). 막대를 서로 상대적으로 회전시키면 동적으로 가변적인 자기장과 다양한 쌍극자 구성을 포함한 많은 가능성이 생긴다. (A)와 (B)에 표시된 디자인이 k = 2 할바흐 실린더와 밀접하게 관련되어 있음을 알 수 있다. 균일 자기장을 위한 다른 매우 간단한 디자인에는 그림 (C)에 표시된 바와 같이 연철 회귀 경로를 가진 분리된 자석이 포함된다.

최근 몇 년 동안 이 할바흐 쌍극자는 저자기장 NMR 실험을 수행하는 데 사용되었다.^[22] 시판되는(브루커 미니스펙) 영구 자석의 표준 판형 기하학적 구조(C)와 비교할 때, 위에서 설명했듯이 큰 보어 직경을 제공하면서도 합리적으로 균일한 자기장을 유지한다.

이상적인 경우의 유도

실린더에 의해 생성되는 자기장을 찾는 데 사용되는 수학적 방법은 균일하게 자화된 구를 조사하는 데 사용되는 것과 매우 유사하다.^[23]

실린더 축을 따라 배열된 대칭성 때문에 이 문제는 2차원으로 다룰 수 있다. 극좌표계 ${\displaystyle (r,\theta )}$와 관련 단위 벡터 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ 및 ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$에서 작업하며, 실린더의 방사형 범위는 ${\displaystyle r_{\mathrm {i} }<r<r_{\mathrm {o} }}$이다. 그러면 실린더 벽 내부의 자기화 ${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathrm {cyl} }}$는 크기 ${\displaystyle M_{0}}$를 가지며 다음과 같이 부드럽게 회전한다.

${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathrm {cyl} }=M_{0}(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}),}$

반면 자기화는 벽 외부, 즉 보어 ${\displaystyle r<r_{\mathrm {i} }}$와 주변 ${\displaystyle r>r_{\mathrm {o} }}$에서는 사라진다.

정의에 따라 보조 자기장 ${\displaystyle \mathbf {H} }$는 자기화와 자속 밀도 ${\displaystyle \mathbf {B} }$에 의해 ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}$와 관련된다. 가우스 자기 법칙 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$을 사용하면 다음과 같이 동등하게 표현된다.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =-\nabla \cdot \mathbf {M} .}$

(1)

문제가 정적이므로 자유 전류가 없고 모든 시간 미분이 사라지므로 앙페르 회로 법칙은 추가로 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0\implies \mathbf {H} =\nabla \varphi }$를 요구한다. 여기서 ${\displaystyle \varphi }$는 자기 스칼라 퍼텐셜이다(일부 정의에서는 부호가 다를 수 있다). 이를 ${\displaystyle \mathbf {H} }$와 ${\displaystyle \mathbf {M} }$를 지배하는 이전 방정식 1에 다시 대입하면 다음을 풀어야 함을 알 수 있다.

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {M} ,}$

(2)

이는 푸아송 방정식의 형태를 갖는다.

이제 실린더-공기 경계면 ${\displaystyle r=r_{\mathrm {i} }}$ 및 ${\displaystyle r=r_{\mathrm {o} }}$에서의 경계 조건을 고려하자. 경계에 걸쳐 있는 작은 루프에 대해 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0}$를 적분하고 스토크스의 정리를 적용하면 ${\displaystyle \mathbf {H} }$의 평행 성분이 연속적이어야 한다. 이는 다시 ${\displaystyle \varphi }$가 경계를 가로질러 연속적이어야 함을 의미한다. (더 정확히 말하면 이는 ${\displaystyle \varphi }$가 경계에 걸쳐 상수만큼 달라야 함을 의미하지만, 우리가 관심 있는 물리량은 이 퍼텐셜의 기울기에 의존하므로 편의상 상수를 임의로 0으로 설정할 수 있다.) 두 번째 조건 세트를 얻기 위해 경계에 걸쳐 있는 작은 부피에 대해 방정식 1을 적분하고 발산 정리를 적용하여 다음을 찾는다.

${\displaystyle \left[{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right]=\pm \mathbf {M} \cdot {\hat {\mathbf {r} }},}$

여기서 ${\displaystyle [f]}$ 표기법은 경계를 가로지르는 양 ${\displaystyle f}$의 도약을 나타내며, 우리의 경우 ${\displaystyle r=r_{\mathrm {i} }}$에서는 음수이고 ${\displaystyle r=r_{\mathrm {o} }}$에서는 양수이다. 부호 차이는 실린더 벽 내부의 적분 부피 부분에 대한 자화와 표면 법선의 상대적 방향이 내부 및 외부 경계에서 반대이기 때문이다.

평면-극좌표계에서 벡터장 ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+F_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$의 발산 (벡터)은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{r})+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}.}$

(3)

유사하게, 스칼라장 ${\displaystyle f}$의 기울기 (벡터)는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}$

(4)

이 두 관계를 결합하면 라플라스 연산자 ${\displaystyle \nabla ^{2}f=\nabla \cdot (\nabla f)}$는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}.}$

(5)

방정식 3을 사용하면 실린더 벽 내부의 자기화 발산은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {M} _{\mathrm {cyl} }&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rM_{0}\cos \theta )+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(M_{0}\sin \theta )\\[5pt]&={\frac {M_{0}\cos \theta }{r}}+{\frac {M_{0}\cos \theta }{r}}\\[5pt]&={\frac {2M_{0}\cos \theta }{r}}.\end{aligned}}}$

따라서 우리가 풀고자 하는 방정식 2는 방정식 5를 사용하여 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}={\begin{cases}0&r<r_{\mathrm {i} },\\-{\frac {2M_{0}\cos \theta }{r}}&r_{\mathrm {i} }<r<r_{\mathrm {o} },\\0&r>r_{\mathrm {0} }.\end{cases}}}$

(6)

실린더 벽 내부에서 이 방정식의 특수해를 찾아보자. 나중에 도움이 될 것을 고려하여 ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {p} }=r\ln r\cos \theta }$를 고려하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi _{\mathrm {p} }}{\partial r}}\right)&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}(r\ln r\cos \theta )\right]\\[5pt]&={\frac {\cos \theta }{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left[r(\ln r+1)\right]\\[5pt]&={\frac {\cos \theta }{r}}(\ln r+1+1)\\[5pt]&={\frac {\ln r\cos \theta }{r}}+{\frac {2\cos \theta }{r}}\end{aligned}}}$

그리고 또한

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi _{\mathrm {p} }}{\partial \theta ^{2}}}&={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}(r\ln r\cos \theta )\\[5pt]&=-{\frac {\ln r\cos \theta }{r}}.\end{aligned}}}$

따라서 ${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi _{\mathrm {p} }={\frac {2\cos \theta }{r}}}$이고, 방정식 6과의 비교를 통해 ${\displaystyle -M_{0}\varphi _{\mathrm {p} }=-M_{0}r\ln r\cos \theta }$가 적절한 특수해임을 알 수 있다.

이제 방정식 6의 동차 방정식인 ${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi _{\mathrm {h} }=0}$을 고려해보자. 이는 라플라스 방정식의 형태를 갖는다. 변수분리법을 통해, 기울기가 ${\displaystyle \theta }$에 대해 주기적인(모든 물리량이 단일 값을 가지도록) 일반적인 동차해는 다음과 같이 주어진다는 것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {h} }=A_{0}+B_{0}\theta +C_{0}\ln r+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}r^{n}+B_{n}r^{-n}\right)\cos n\theta +\sum _{n=1}^{\infty }\left(C_{n}r^{n}+D_{n}r^{-n}\right)\sin n\theta ,}$

여기서 ${\displaystyle A_{i},\ B_{i},\ C_{i},\ D_{i}}$는 임의의 상수이다. 원하는 해는 경계 조건을 만족하는 특수해와 동차해의 합이 될 것이다. 다시 나중에 도움이 될 것을 고려하여, 대부분의 상수를 즉시 0으로 설정하고 해가 다음과 같다고 가정하자.

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\alpha r\cos \theta &r<r_{\mathrm {i} },\\\beta r\cos \theta -M_{0}r\ln r\cos \theta &r_{\mathrm {i} }<r<r_{\mathrm {o} },\\0&r>r_{\mathrm {o} },\end{cases}}}$

여기서 ${\displaystyle \alpha ,\ \beta }$는 결정될 상수이다. 상수를 경계 조건을 만족하도록 선택할 수 있다면, 푸아송 방정식의 유일성 정리에 의해 우리가 해를 찾았다고 할 수 있다.

연속성 조건은 다음을 제공한다.

${\displaystyle \alpha =\beta -M_{0}\ln r_{\mathrm {i} }}$

(7)

내부 경계에서 다음을 제공한다.

${\displaystyle \beta -M_{0}\ln r_{\mathrm {o} }=0}$

(8)

외부 경계에서. 퍼텐셜 기울기는 실린더 벽 내부에서 사라지지 않는 방사형 성분 ${\displaystyle \beta \cos \theta -M_{0}\ln r\cos \theta -M_{0}\cos \theta }$를 가지며, 보어 내부에서는 ${\displaystyle \alpha \cos \theta }$를 가지므로 퍼텐셜 미분 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle (\beta \cos \theta -M_{0}\ln r_{\mathrm {i} }\cos \theta -M_{0}\cos \theta )-\alpha \cos \theta =-M_{0}\cos \theta \implies \beta -M_{0}\ln r_{\mathrm {i} }-\alpha =0\implies \alpha =\beta -M_{0}\ln r_{\mathrm {i} }}$

내부 경계에서 그리고

${\displaystyle 0-(\beta \cos \theta -M_{0}\ln r_{\mathrm {0} }\cos \theta -M_{0}\cos \theta )=M_{0}\cos \theta \implies \beta -M_{0}\ln r_{\mathrm {o} }=0}$

외부 경계에서. 이들이 방정식 7 및 8과 동일하므로, 가정은 일관적이었다. 따라서 ${\displaystyle \beta =M_{0}\ln r_{\mathrm {o} }}$ 및 ${\displaystyle \alpha =M_{0}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r_{\mathrm {i} }}}\right)}$를 얻으므로 해는 다음과 같다.

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}M_{0}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r_{\mathrm {i} }}}\right)r\cos \theta &r<r_{\mathrm {i} },\\M_{0}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r}}\right)r\cos \theta &r_{\mathrm {i} }<r<r_{\mathrm {o} },\\0&r>r_{\mathrm {o} }.\end{cases}}}$

결과적으로 자기장은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {H} =\nabla \varphi ={\begin{cases}M_{0}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r_{\mathrm {i} }}}\right)\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}-M_{0}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r_{\mathrm {i} }}}\right)\sin \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&r<r_{\mathrm {i} },\\M_{0}\cos \theta \left[\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r}}\right)-1\right]\,{\hat {\mathbf {r} }}-M_{0}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r}}\right)\sin \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&r_{\mathrm {i} }<r<r_{\mathrm {o} },\\0&r>r_{\mathrm {o} },\end{cases}}}$

반면 자속 밀도는 이전 정의 ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}$를 사용하여 모든 곳에서 찾을 수 있다. 자기화가 사라지는 보어 내부에서는 ${\displaystyle \mathbf {B} _{\mathrm {bore} }={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {H} _{\mathrm {bore} }}$로 줄어든다. 따라서 그곳의 자속 밀도 크기는 다음과 같다.

${\displaystyle B_{\mathrm {bore} }=\left|\mathbf {B} _{\mathrm {bore} }\right|={\sqrt {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }}{\frac {M_{0}}{\mu _{0}}}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r_{\mathrm {i} }}}\right)={\frac {M_{0}}{\mu _{0}}}\ln \left({\frac {r_{\mathrm {o} }}{r_{\mathrm {i} }}}\right),}$

이는 위치와 무관하다. 유사하게, 실린더 외부에서는 자기화도 사라지고, 자기장도 사라지므로 자속 밀도도 사라진다. 따라서 이상적인 할바흐 실린더 내부에서는 자기장이 균일하고 외부에서는 0이며, 그 크기는 물리적 치수에 따라 달라진다.

자기장 변화

할바흐 실린더는 정적 자기장을 제공한다. 그러나 실린더를 중첩시킬 수 있으며, 한 실린더를 다른 실린더에 대해 회전시킴으로써 자기장 상쇄 및 방향 조절이 가능하다.^[24] 실린더의 외부 자기장이 상당히 낮기 때문에 상대적 회전은 강한 힘을 요구하지 않는다. 무한히 긴 실린더의 이상적인 경우, 한 실린더를 다른 실린더에 대해 회전시키는 데 힘이 필요하지 않을 것이다.

평면 할바흐 배열과 동심 구조 권선을 이용한 자기부상

구형

할바흐 실린더의 2차원 자기 분포 패턴을 3차원으로 확장하면 할바흐 구가 된다. 이러한 디자인은 유한 길이 실린더 디자인에서 흔히 발생하는 "끝 효과"의 영향을 받지 않기 때문에 디자인 내부에서 매우 균일한 자기장을 갖는다. 구의 균일 자기장 크기도 동일한 내부 및 외부 반경을 가진 이상적인 원통형 디자인의 4/3배로 증가한다. 그러나 구형 구조의 경우 균일 자기장 영역에 대한 접근은 일반적으로 디자인의 상단과 하단에 있는 좁은 구멍으로 제한된다.

할바흐 구 내부의 자기장 방정식은 다음과 같다.^[25]

${\displaystyle B={\frac {4}{3}}B_{0}\ln \left({\frac {R_{\text{o}}}{R_{\text{i}}}}\right).}$

점 쌍극자(선 쌍극자가 아닌)로 구성되어 있다는 사실을 고려하여 구형 디자인을 최적화함으로써 더 높은 자기장을 얻을 수 있다. 이는 구를 타원형으로 늘리고 구성 요소에 걸쳐 비균일한 자화 분포를 갖게 한다. 이 방법과 디자인 내부에 연질 폴 피스를 사용하여 작동 부피 20mm³에서 4.5 T를 달성했으며,^[26] 2002년에는 더 작은 작동 부피 0.05mm³에서 5T로 증가했다.^[27] 경질 재료는 온도에 따라 다르기 때문에 전체 자석 배열을 냉각하면 작동 영역 내의 자기장을 더욱 증가시킬 수 있다. 이 그룹은 또한 2003년에 5.16T 할바흐 쌍극자 실린더 개발을 보고했다.^[28]

같이 보기

• 네오디뮴 자석
• 인덕트랙
• 헬름홀츠 코일