수론에서 페르마의 소정리(Fermat小定理, 영어: Fermat’s little theorem)는 어떤 수가 소수일 간단한 필요 조건에 대한 정리이다. 추상적으로, 소수 크기의 유한체 위의 프로베니우스 사상이 항등 함수임을 의미한다.
피에르 드 페르마의 이름이 붙어 있지만, 페르마는 이 정리를 언급했을 뿐, 정확한 증명을 제시하지는 않았다. 현재 기록상 남아 있는 증명 가운데 최초는 고트프리트 라이프니츠의 것이다.
페르마의 소정리를 증명하는 방법은 여러 가지가 있을 수 있지만, 가장 쉬운 방법으로 합동식을 이용하는 방법이 있다. 그 증명 방법을 나타내면 다음과 같다.
- 와 서로소인 소수 에 대해 인 개의 수를 살펴보자. 이 수들을 로 나눴을 때 나오는 나머지는 모두 다르다.
- 증명 : 귀류법으로, 두 수 와 가 존재해서 그 나머지가 같다고 하자(인 정수). 그렇다면 그 두 수의 차 는 로 나누어질 것이다. 그러나 이므로 는 의 배수가 아니며, 문제의 가정에 따라 는 와 서로소이다.
- 따라서 같은 나머지를 가지는 수가 없으므로, 개의 수는 모두 그 나머지가 다르다.
- 또 인 에 대해 역시 의 배수가 아니다. 이에 대한 증명은 위와 같으므로 생략한다.
- 이제 집합
를 정의하자. 이는 첫 번째에 가정한 개의 수들의 집합이다. 여기서 집합
인데, 와 서로소인 수를 로 나눌 때 생기는 모든 나머지들의 집합이다. 처음에 했던 증명에 의해, 와 의 크기는 같다.
- 따라서,
이다. 양변을 로 나누면,
을 얻는다.
오일러 정리
이 정리는 오일러 파이 함수를 이용하여, 소수가 아닌 정수 n에 대해서까지 다음과 같이 일반화할 수 있다. n이 자연수, a가 n과 서로소인 자연수일 때,
이 성립한다. 식에서 는 오일러 파이 함수를 나타낸다.
유한체론
유한체 이론에서 다항식의 나눗셈에 관련된 결과를 통해 페르마의 소정리를 일반화할 수도 있다.[1]
표수가 인 유한체 에 대하여, 다음 두 명제가 성립한다.
- 기약 다항식 에 대하여, 라면 이다.
- 인 두 양의 정수 에 대하여, 를 인 k차 기약 다항식 들의 수라고 하자. 그렇다면
- 이다.
여기서, 뫼비우스 반전 공식에 따라 C(p, k)를 얻는 일반적인 공식을 구하면 다음과 같다.
여기서 는 뫼비우스 함수이다.
Joseph A. Gallian (2006), Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Company(Boston, New York), p.388.