Algebra elementaris

Algebra elementaris est generalizatio arithmeticae. Differt ab algebra abstracta, quae de structuris mathematicis tractat et notiones "operationis" et etiam "numeri" plus generaliter spectat. Differt etiam ab arithmetica quod litteris utitur ad numeros repraesentandos. Saepissime de numeris realibus tractat: quamquam eaedem regulae ad omnia corpora pertinent, algebra aliorum corporum non est elementaris.

Notatio

Litterae quantitates repraesentant. Mos est litteris prope abedecarii finem, ut x, y, z uti si quantitas non nota sit, et litteris a, b, c uti si quantitas nota sit. Littera quae quantitatem inscitam repraesentat variabilis dicitur.

Aequatio ${\displaystyle 2x+3=13}$ ergo significat: "Est numerus x, quem nescimus. Si hunc numerum per 2 multiplicas, deinde 3 addas, habebis 13." Et aequatio ${\displaystyle x^{2}-5x+6=0}$ significat: "Est numerus x, quem nescimus. Huic numero quadrato adda numerum per 5 multiplicatum, et adda 6; habebis 0."

Additio, multiplicatio

Quod algebra elementaris de elementis corporis tractat, regulae operationum elementarium sunt regulae corporis. Hoc est, licet eandem quantitatem addere ad ambo aequationis latera, vel per eandem quantitatem ambo latera multiplicare.

Polynomia et factores

Animatio: Completio quadratae

Algebra elementaris de functionibus polynomialibus tractat; functiones trigonometricae, exponentiales, et aliae sunt analysis materies.

Polynomium est expressio huius formae:

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$

Functio polynomialis est functio, cuius regula est polynomium:

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$

Polynomia quadratica vel secondi gradus, polynomia cubica vel tertii gradus, et polynomia quartica vel quarti gradus per formulas explicitas solvuntur; polynomia altiorum graduum nullas formulas habent.

Methodus generalis polynomiorum solvandorum est factorizatio. Pone

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$

Factores huius polynomium sunt:

${\displaystyle (x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_{n})}$

Tanti factores sunt quantus est gradus polynomii; non necesse est factores differre. Radices aequatio f(x) = 0 sunt numeri r₁, r₂, ... r_n. Aequatio polynomialis ergo tantas solutiones habet quantus est gradus.

Exempli gratia,

${\displaystyle x^{2}-5x+6=0}$

Factores polynomii sunt (x - 2) et (x - 3). Solutio aequationis est ergo

${\displaystyle (x-2)(x-3)=0}$

hoc est, x = 2 vel x = 3.

Grapha

Graphum functionis est pictura. Constructio graphorum quoque pars est algebrae elementaris.