Polynomium

Polynomium^[1] (Graece πολύς 'multum' + νόμος 'portio, pars') in mathematica est functio formae
${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot x^{i}=a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots +a_{1}\cdot x+a_{0},}$
ubi ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Numerus ${\displaystyle n}$ appellatur gradus polynomii. Numeri ${\displaystyle a_{i}}$ (qui "coefficientes" dicuntur) saepius sunt in quolibet corpore, vel ${\displaystyle \mathbb {R} }$, vel ${\displaystyle \mathbb {C} }$, vel alio; licet etiam in anello esse, ut anellus matricum quadraticarum alicuius magnitudinis. Algebra elementaria de polynomiis tractat.

Graphum Polynomium gradus quinti

Etymologia

Nomen polynomium, praefixo πολύ 'multum' addito, formatum est ab exemplo binomio, quod ipsum a Francogallico nom vel Latino nomine contracto derivatum est.^[2]

Proprietates

• Omnis functio polynomialis continua est et differentiabilis.
• Fluxio polynomii est (secundum regulam summae et factoris functionis differentiabilis):

${\displaystyle f\!\,'(x)=\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot x^{i}\right)^{\!\,'}=\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}\cdot i\cdot x^{i-1}=a_{n}\cdot n\cdot x^{n-1}+a_{n-1}\cdot (n-1)\cdot x^{n-2}+\dots +a_{1}}$

Anellus polynomiorum

Possumus addere, subtrahere, et multiplicare polynomia (leges binominales sunt simplissimae multiplicationis regulae), quae operationes semper aliud polynomium faciunt. Divisio vel quotiens duorum polynomiorum autem est functio rationalis (per definitionem) sed non semper polynomium. Polynomia ergo quorum coefficientes sunt in corpore F font anellus, F[x] dictus.

Symmetria

Si ${\displaystyle n}$ est numerus par et omnes ${\displaystyle a_{i}=0,\ \forall i=2k-1}$ (id est omnibus i imparibus) sunt, tum functio est symmetrica ad axem verticalem, quae aequatione ${\displaystyle x=0}$ datur.

Si ${\displaystyle n}$ est numerus impar et omnes ${\displaystyle a_{i}=0,\ \forall i=2k}$ (id est omnibus i paribus) sunt, tum functio est symmetrica ad punctum originis (0/0).

Exempla

• Polynomium ${\displaystyle f(x)=17x^{4}-7x^{2}-3}$ est symmetricum ad axem verticalem, quae aequatione ${\displaystyle x=0}$ datur.
• Polynomium ${\displaystyle f(x)=8x^{5}-7x}$ est symmetricum ad punctum originis (0,0).

Nexus interni

• Casus irreducibilis
• In factores resolutio
• Numerus complexus
• Theorema fundamentale algebrae
• Theoria numerorum