Eccentricitas

Eccentricitas (-atis, f.)^[1] sive excentricitas^[2] seu eccentrotes^[3] in mathematica est parametrum sectionis conicae quod a littera ${\displaystyle e}$ aut ${\displaystyle \varepsilon }$ signatur. Ea velut mensura proximitatis a sectione ad circulum verum considerare potest.

• Eccentricitas circuli est nihil.
• Eccentricitas ellipseos quae non est circulus est amplior quam nihil et minor quam 1.
• Eccentricitas parabolae est 1.
• Eccentricitas hyperbolae est amplior quam 1.

Omnes genera sectionum conicarum, circum focum eundem conscribuntur. Nota quod curvatura decrescit velut eccentricitas increscit et quod nihil horum flexuum inter se secant.

Etiam duae sectiones conicae sunt geometricalibus similes si et solum si eae eccentricitatem eandem habent.

Definitio

Si punctum F, linea L, et parametrum ${\displaystyle e>0}$ dantur, sectio conica est omnes puncti M ubi spatium inter M et F est ${\displaystyle e}$ multiplicatum a spatium inter M et M' (linea M-M' est perpendicularis a linea L). Tum F est focus sectionis conicae, L est directrix, et ${\displaystyle e}$ est eccentricitas.

Etiam si duplex conus verticale oriens et planus eum secans dantur, tum eccentricitas sectionis est ${\displaystyle e={\sin \alpha }/{\sin \beta }}$ ubi ${\displaystyle \alpha }$ est angulus inter planum et libratum, et ${\displaystyle \beta }$ est angulus inter conum et libratum.

Eccentricitas linearis sectionis conicae, quae a littera ${\displaystyle c}$ aut ${\displaystyle e}$ signatur, est spatium inter centrum et focum (aut unum ex duobus focis).

Alia nomina

Aliquando eccentricitas appellatur eccentricitas prima ut ab eccentricitate secunda et tertia distinguatur quae in ellipsibus definiuntur (vide infra). Aliquando eccentricitas appellatur eccentricitas numericalis.

In ellipsibus et hyperbolis, aliquando eccentricitas linearis appellatur semiseparatio focorum.

Notatio

Sunt duae doctrinae usitatae notationis:

• ${\displaystyle e}$ pro eccentricitate et ${\displaystyle c}$ pro eccentricitate lineari, aut
• ${\displaystyle \varepsilon }$ pro eccentricitate et ${\displaystyle e}$ pro eccentricitate lineari.

Hic res doctrinam primam utitur.

Aequationes

sectio conica	aequatio	eccentricitas (${\displaystyle e}$)	eccentricitas linearis (${\displaystyle c}$)
circulus	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
ellipsis	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
parabola	${\displaystyle y^{2}=4ax}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle a}$
hyperbola	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Eccentricitas ellipsium

Si longitudinem axis semimaioris ellipseos ${\displaystyle a}$ et longitudinem axis semiminoris ellipseos ${\displaystyle b}$ habemus, definiamus:

nomen	symbolus	aequatio ex ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$	aequatio ex ${\displaystyle \alpha }$
eccentricitas angularis	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \arccos \left({\frac {b}{a}}\right)}$	${\displaystyle \alpha }$
eccentricitas prima	${\displaystyle e\,}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle \sin(\alpha )}$
eccentricitas secunda	${\displaystyle e'\,}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1}}}$	${\displaystyle \tan(\alpha )}$
eccentricitas tertia	${\displaystyle e''={\sqrt {m}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\sqrt {2-\sin ^{2}(\alpha )}}}}$

Eccentricitas ut mensura in astronomia

In mechanica caelesti omnis orbita „normalis“ formam sectionis conicae (i.e. ellipseos, parabolae aut hyperbolae) habet. Eccentricitas orbitae a sectione conica, eccentricitas orbitalis dicta, est parametrum magni momenti ad formam eius definiendam, quae mensura adhibetur, qua deviatio orbitae describitur.