Inductio plena

Inductio plena vel inductio mathematica est ratio demonstrandi pro sententiis numerorum naturalium.

Inductio similis est casui tegularum. Si sententiam A(1) demonstramus, prima tegula cadit: quae tunc alteram caedit, tunc tertiam, dein quartam ...: id quod est gradus inductionis

Ratio

Inductio plena ex duobus rebus constat: Ex incepto inductionis ac gradu inductionis

Inceptum inductionis

Ad inceptum inductionis probandam probari, ut sententia vel pro numero uno vel nullo (prout nullus inter numeros naturales numerat), debet.

Gradus inductionis

Praesumitur, ut sententia verum est pro numero ${\displaystyle n}$. Si tum fieri potest sententiam pro numero ${\displaystyle n+1}$ probare atque inceptum inductionis est, sententia vera est pro omnibus numeris naturalibus.

Exemplum

Summa omnium numerorum naturalum de uno ad ${\displaystyle n}$ est ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$.

Inceptum inductionis

${\displaystyle n=1}$
${\displaystyle 1={\frac {1*2}{2}}}$
Hoc verum est.

Gradus inductionis

Demonstrandum: ${\displaystyle 1+2+...+n+(n+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$, si ${\displaystyle 1+2+...+n={\frac {n(n+1)}{2}}}$ est.
${\displaystyle 1+2+...+n+(n+1)={\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)={\frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$
${\displaystyle \Box }$