Gama funkcija (žymima
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
) matematikoje – faktorialo plėtinys, kuomet funkcijos apibrėžimo sritis ne tik sveikieji skaičiai . Gama funkcija yra apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams , išskyrus nulį ir neigiamus sveikus skaičius. Gama funkcija naudojama gama skirstinyje .[1]
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t.\!}
Gama funkcijos reikšmės kompleksiniam argumentui z (modulis). R – realioji komponentė, J – menamoji.
Gama funkcijos reikšmės išilgai realiosios ašies.
Pirmasis tokį pažymėjimą įvedė Andre-Mari Ležandras .
Pirminis Eulerio gama funkcijos apibrėžimas buvo:
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
z
n
!
∏
k
=
0
n
(
z
+
k
)
.
{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.\!}
Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat rekursyvinius sąryšius :
n
!
=
n
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle n!=n(n-1)!\,}
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,}
Kartu su
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=1}
:
Γ
(
1
)
=
∫
0
∞
e
−
t
d
t
=
lim
k
→
∞
−
e
−
t
|
0
k
=
−
0
−
(
−
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1}
,
gama funkcija yra taip susijusi su faktorialu:
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
=
⋯
=
n
!
Γ
(
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}
Taip pat
(
1
2
)
!
=
π
2
{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}
ir bet kokį pusinį faktorialą galime užrašyti taip:
(
n
+
1
2
)
!
=
π
×
∏
k
=
0
n
2
k
+
1
2
.
{\displaystyle \left(n+{\frac {1}{2}}\right)!={\sqrt {\pi }}\times \prod _{k=0}^{n}{2k+1 \over 2}.}
Pavyzdžiui,
3.5
!
=
π
⋅
1
2
⋅
3
2
⋅
5
2
⋅
7
2
≈
11.63.
{\displaystyle 3.5!={\sqrt {\pi }}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}\approx 11.63.}