Faktorialas

Natūraliojo skaičiaus n faktorialu vadinama visų natūraliųjų skaičių nuo 1 iki n sandauga, pavyzdžiui:

${\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.\ }$

Kai kurių skaičių faktorialai

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
15	1 307 674 368 000
20	2 432 902 008 176 640 000

Sutarta, kad skaičiaus 0 faktorialas lygus 1 (0! = 1) (tuščioji sandauga). Matematikoje sandauga kurioje nėra dauginamųjų laikoma lygia vienetui (suma, kurioje nėra sudedamųjų, laikoma lygia nuliui).^[1]

Formalūs apibrėžimai

Formaliai faktorialo funkciją galima apibrėžti kaip:

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\!}$

arba

${\displaystyle n!=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{jei }}n{\mbox{=0}}\\n\cdot (n-1)!,&{\mbox{jei }}n\geq {\mbox{1}}\end{matrix}}\right.}$

Apytiksliai suskaičiuoti didelių skaičių faktorialą galima naudojant Stirlingo formulę.

Ryšys su Gama funkcija

Faktorialo funkcija gali būti apibrėžta ir ne sveikiesiems skaičiams. Tokia funkcija yra vadinama gama funkcija ir yra žymima ${\displaystyle \Gamma (z)}$, kai z nėra 0 arba sveikas neigiamas skaičius. Gama funkcija yra apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus nulį ir neigiamus sveikus skaičius.

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t.\!}$

Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat rekursyvinius sąryšius:

${\displaystyle n!=n(n-1)!\,}$

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,}$

Nuorodos

• http://factorielle.free.fr
• https://www.skaiciuokle.lt/skaiciuokles/faktorialas