Аритметичка средина

Аритметичката средина претставува најчесто употребувана мерка на централна тенденција. Таа претставува еден од основните параметри на распоредот на честотите. Се пресметува на мошне едноставен начин. Поради тоа аритметичката средина има најширока примена во статистичката анализа.^[1] Таа уште се нарекува и просек

Споредба на модус, медијана и средина.

Примена

Пресметувањето на аритметичката средина често е врзано со правење на разни анкети кои имаат влијание на јавното мислење. Таа како метод често се користи во науки како економија, социологија, историја, како и во други академски области до одредено ниво. Во стопанството и воопшто во практиката, аритметичката средина се користи како синтетички показател на локацијата на масата или примерокот. Нејзината предност во споредба со другите средни вредности се состои во тоа што таа може да биде подложена на понатамошни алгебарски операции. Така на пример, може да се пресмета аритметичка средина од аритметичките средини.

Пресметување на аритметичка средина

Аритметичката средина се добива на тој начин што се собираат сите вредности на белегот и добиениот збир се дели со вкупниот број на вредности на белегот. Таа може да се пресмета за податоци кои се групирани или негрупирани. Разликата е во тоа што групираните имаат своја честота.

Негрупирани податоци

Аритметичка средина на негрупирани податоци

За негрупирани податоци се пресметува проста аритметичка средина и начинот на ваквото пресметување е прилично едноставен. Ако X е набљудуваниот белег, x₁, x₂, ..... , x_n-1, x_n се неговите вредности, а n нивниот број, тогаш аритметичката средина ќе се пресмета кога збирот на вредностите на набљудуваните белези ќе се подели со бројот на податоците^[2][3]

Групирани податоци

Аритметичка средина на групирани податоци

При пресметување на аритметичката средина од податoци одредени во вид на честоти (групирани податоци) мора да се земе предвид застапеноста на поодделните вредности на белегот односно разликите во честотите. Во случај кога податоците се прикажани во интервали (пр. 21-30; средина 25,5), тогаш секој интервал мора да биде претставен со една вредност на белегот – средина на групниот интервал.

Всушност, ваквата аритметичка средина ќе се пресмета кога сумата на производите на поединечните честоти и вредности на белегот (f_i и x_i) ќе се подели со сумата на честотите.

Пример задача

Колку ќе изнесува просечната остварена цена по килограм доколку параметрите се следните:

Остварена цена за килограм (x_i): 20 / 25 / 28 / 30

Продадено количество (f_i): 10 / 18 / 6 / 3 Σ: 37

Остварена вредност во денари (x_if_i): 200/450 /168 / 90 Σ: 908

Σ= 908/37 = 24,54

Аритметичка средина најчесто се пресметува за одреден примерок, а врз основа на добиените резултати се прави оцена на самата популација. Има и одредена разлика во ознаките при пресметувањето и во самата формула.^[4]

Аритметичка средина на популација и на примерок

Особености

• Ги изразува апсолутните варирања на вредноста на белегот
• Најголемо влијание на аритметичката средина има вредноста на белегот со најголема честота. Тоа е така поради едноставна причина што таа вредност се повторува најмногу пати, па и аритметичката средина ќе има тенденција кон таа вредност
• Аритметичката средина е значително засегната од промени во екстремните вредности
• На неа влијаат сите вредности на набљудуваниот белег: Секоја вредност врши некаква промена на аритметичката средина, што не мора да е случај со модусот и медијаната
• Ако броевите x₁, ..... , x_n имаат средина x̄, тогаш (x₁-x̄) +.....+ (x_n-x̄) = 0 ^[5]

Недостатоци

• Аритметичката средина е мерка која е добра и корисна за серии со бројчен белег, но не и за серии со атрибутивен белег. Да претпоставиме дека имаме група од 3 мажи и 2 жени. Доколку мажите ги означиме со 1, а жените со 2, аритметичката средина на групата ќе биде еднаква на [(1+1+1+2+2)/5]=1,4. Аритметичката средина во овој случај е безначајна, односно не ни покажува апсолутно ништо. Во овој пример модусот, кој е еднаков на 1, е подобра мерка од аритметичката средина бидејќи покажува дека во групата има повеќе мажи.
• Пресметувањето на аритметичката средина на групниот интервал тргнува од претпоставката дека вредностите на белегот внатре во интервалот се рамномерно распоредени. Најчесто во практиката ова не се случува, па поради тоа аритметичката средина добиена на овој начин се разликува од аритметичката средина пресметана врз основа на негрупирани податоци.
• Кај серии чии вредности на белегот во голема мера отстапуваат од аритметичката средина се вели дека имаат голема дисперзија. Понекогаш крајните (екстремните) вредности драстично се разликуваат од аритметичката средина, па поради тоа таа не дава најдобра слика за распоредот на серијата. Решение за овој проблем се мерките на варијабилитет.

Поврзано

• Геометриска средина
• Медијана