Бернулиева распределба

Бернулиева распределба во теоријата на веројатноста и статистиката — прекинатата веројатносна распределба на една случајна променлива која ја има вредноста 1 со веројатност ${\displaystyle p}$ и вредноста 0 со веројатност ${\displaystyle q=1-p}$. Понеформално, таа е модел за множество можни исходи од секој можен опит опит кој поставува прашање „да–не“. Ваквите прашања водат до исходи со една од две вредности: „успех“ (1) со веројатност p и „неуспех“ (0) со веројатност q. Со оваа распределба може да се претстави фрлање паричка каде 1 и 0 би биле „глава“ и „писмо“, а p би била веројатноста да се падне глава (или обратно, каде 1 е писмо, а p ќе биде веројатноста за писмо). Нечесните парички би имале ${\displaystyle p\neq 1/2.}$

Бернулиева распределба

Веројатносна функција Три примери за Бернулиева распределба:   ${\displaystyle P(x=0)=0{,}2}$ и ${\displaystyle P(x=1)=0{,}8}$   ${\displaystyle P(x=0)=0{,}8}$ и ${\displaystyle P(x=1)=0{,}2}$   ${\displaystyle P(x=0)=0{,}5}$ и ${\displaystyle P(x=1)=0{,}5}$
Параметри	${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle q=1-p}$
Носител	${\displaystyle k\in \{0,1\}}$
ВФ	${\displaystyle {\begin{cases}q=1-p&{\text{ако }}k=0\\p&{\text{ако }}k=1\end{cases}}}$
РФ	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{ако }}k<0\\1-p&{\text{ако }}0\leq k<1\\1&{\text{ако }}k\geq 1\end{cases}}}$
Средина	${\displaystyle p}$
Медијана	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{ако }}p<1/2\\\left[0,1\right]&{\text{ако }}p=1/2\\1&{\text{ако }}p>1/2\end{cases}}}$
Модус	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{ако }}p<1/2\\0,1&{\text{ако }}p=1/2\\1&{\text{ако }}p>1/2\end{cases}}}$
Варијанса	${\displaystyle p(1-p)=pq}$
ПАО	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
Накосеност	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}$
Вишок зашиленост	${\displaystyle {\frac {1-6pq}{pq}}}$
Ентропија	${\displaystyle -q\ln q-p\ln p}$
МТФ	${\displaystyle q+pe^{t}}$
КФ	${\displaystyle q+pe^{it}}$
ВТФ	${\displaystyle q+pz}$
Фишерова информација	${\displaystyle {\frac {1}{pq}}}$

Наречена е по швајцараскиот математичар Јакоб Бернули^[1] и претставува посебен случај на биномната распределба со еден спроведен опит (така што n би бил 1 за таква биномна распределба). Воедно таа претставува посебен случај на двоточкестата распределба, чии можни исходи не мора да бидат 0 и 1.

Својства

Ако ${\displaystyle X}$ е случајна променлива со оваа распределба, тогаш:

${\displaystyle \Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.}$

Веројатносната фунција ${\displaystyle f}$ на оваа распределба низ можните исходи k е

${\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{ако }}k=1,\\q=1-p&{\text{ако }}k=0.\end{cases}}}$^[2]

Ова може да се изрази и како

${\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{за }}k\in \{0,1\}}$

или како

${\displaystyle f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{за }}k\in \{0,1\}.}$

Бернулиевата распределба е посебен случај на биномната распределба со ${\displaystyle n=1.}$^[3]

Зашиленоста оди до бесконечност за високи и ниски вредности на ${\displaystyle p,}$ но за ${\displaystyle p=1/2}$ двоточкестите распределби (вкл. Бернулиевата) имаат помалку вишок зашиленост отколку било која друга веројатносна распределба, имено −2.

Бернулиевите распределби за ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ сочинуваат експоненцијално семејство.

Процената на максимална веројатност на ${\displaystyle p}$ според случаен примерок е примерочната средина.

Средина

Очекуваната вредност на една Бернулиева случајна променлива ${\displaystyle X}$ е

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=p}$

Ова се должи на тоа што, за Бернулиево распределена случајна променлива ${\displaystyle X}$ со ${\displaystyle \Pr(X=1)=p}$ и ${\displaystyle \Pr(X=0)=q}$ имаме

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.}$^[2]

Веријанса

Варијансата на Бернулиево распределен ${\displaystyle X}$ е

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)}$

Прво имаме

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p=\operatorname {E} [X]}$

Од ова следи

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq}$^[2]

Од овој резултат лесно е да се докаже дека, за секоја Бернулиева распределба, нејзината варијанса ќе има вредност во рамките на ${\displaystyle [0,1/4]}$.

Накосеност

Накосеноста (коефициентот на асиметрија) е ${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}$. Кога ја ќе земеме стандардизираната Бернулиево распределена случајна променлива ${\displaystyle {\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}}$ излегува дека оваа случајна променлива добива ${\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}}$ со веројатност ${\displaystyle p}$ и добива ${\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}}$ со веројатност ${\displaystyle q}$. Така добиваме

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}\right)^{3}\right]\\&=p\cdot \left({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}+q\cdot \left(-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3}}}\left(pq^{3}-qp^{3}\right)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(q-p)\\&={\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}.\end{aligned}}}$

Виши моменти и кумуланти

Сите сирови моменти се еднакви поради тоа што ${\displaystyle 1^{k}=1}$ и ${\displaystyle 0^{k}=0}$.

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{k}+\Pr(X=0)\cdot 0^{k}=p\cdot 1+q\cdot 0=p=\operatorname {E} [X].}$

Централниот момент со степен ${\displaystyle k}$ се добива со

${\displaystyle \mu _{k}=(1-p)(-p)^{k}+p(1-p)^{k}.}$

Првите шест централни моменти се

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=p(1-p),\\\mu _{3}&=p(1-p)(1-2p),\\\mu _{4}&=p(1-p)(1-3p(1-p)),\\\mu _{5}&=p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)),\\\mu _{6}&=p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).\end{aligned}}}$

Вишите централни моменти може да се изразат покомпактно како ${\displaystyle \mu _{2}}$ и ${\displaystyle \mu _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{4}&=\mu _{2}(1-3\mu _{2}),\\\mu _{5}&=\mu _{3}(1-2\mu _{2}),\\\mu _{6}&=\mu _{2}(1-5\mu _{2}(1-\mu _{2})).\end{aligned}}}$

Првите шест кумуланти се

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=p,\\\kappa _{2}&=\mu _{2},\\\kappa _{3}&=\mu _{3},\\\kappa _{4}&=\mu _{2}(1-6\mu _{2}),\\\kappa _{5}&=\mu _{3}(1-12\mu _{2}),\\\kappa _{6}&=\mu _{2}(1-30\mu _{2}(1-4\mu _{2})).\end{aligned}}}$

Поврзани распределби

• Ако ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ се независни еднакво распределени случајни променливи, сите Бернулиеви опити со веројатност за успех p, тогаш нивното множество е распределено според биномна распределба со параметри n и p:

  ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \operatorname {B} (n,p)}$ (биномна распределба).^[2]

Бернулиевата распределба едноставно е ${\displaystyle \operatorname {B} (1,p)}$, и се запишува и како ${\textstyle \mathrm {Bernoulli} (p).}$

• Категоричната распределба е воопштувањето на Бернулиевата распределба за променливи со било кој постојан број на прекинати вредности.
• Бета-распределбата е сврзувачкиот претходник of Бернулиевата распределба.
• Геометриската распределба го моделира бројот на независни и еднакви Бернулиеви опити потребни за да се добие еден успех.
• Ако ${\textstyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}}\right)}$, тогаш ${\textstyle 2Y-1}$ има Радемахерова распределба.

Поврзано

• Бернулиев опит
• Бернулиев процес