Биномна распределба

Биномна распределба B(n, p ), n∈ℕ, p∈(0,1) — случаен опит во веројатностa и статистиката, кој се повторува n пати Бернулиев опит со веројатност на успех p запишувајќи го бројот k на успеси во n-тите повторувања.^[1]

Биномна распределба
Закон на распределба (pdf)
Кумулативна распределба (cdf)
Тип	Дискретна
Означување	B(n, p )
Параметри	p∈[0,1] = веројатност на успех по опит, n∈ℕ = број повторување на опитот
Поддршка	k∈{0,1,2,...,n}
PDF	${\displaystyle f(k)=\left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}}\right){p^{k}}{{(1-p)}^{n-k}}}$ k=0,1,2,...,n
CDF	${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{0\,\,\,\,\,x<0}\\{\sum \limits _{k=0}^{k\leq x}{f(k)\,\,\,\,\,x\geq 0}}\end{array}}\right.}$
μ	np
σ2	np(1 − p)
Асиметрија	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}}$
Сплоснатост	${\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}}$

Одлики на биномната распределба B(n,p)

• Биномна распределба е потполно определена со веројатноста на успехот p на Бернулиевиот опит заедно со бројот на повторувања n.
• Биномна распределба е дискретна распределба со дискретната случајна променлива со n+1 елементи: X={0,1,2,...,n}.
• Pr(X=k) е веројатноста на k успеси во n повторувања на Бернулиевиот опит со веројатноста на успех p, k∈X.

Пример: B(5;0,8).

B(5;0,8) значи биномен опит каде што се повторува n=5 пати Бернулиев опит со p=0,8. Има n+1=5+1=6 исходите, т.е. случајната променлива е X={0,1,2,3,4,5}. Елементот k=0 на Х е исходот каде што во 5-те повторувања на Бернулиевиот опит, немале ниту еден успех, елементот k=1 е каде што имало точно еден успех, ..., а елементот k=5 е каде што во 5-те повторувања на опитот сите биле успешни.

Во табелата се наведени сите подредени исходи (пишувајќи 0 за неуспех, а 1 за успех како што е вообичаено за Бернулиев опит). Овие не се исходи на биномниот опит, бидејќи во опитот редоследот не е важен. Тука само гледаме на колку начини можат да се добијат k успеси во n повторувања. На пример, има само еден начин да се добие k=0, односно сите исходи на опитот да се неуспеси 00000.

k	0	1	2	3	4	5
	00000	10000	11000	00111	01111	11111
		01000	10100	01011	10111
		00100	10010	01001	11011
		00010	10001	01110	01110
		00001	01100	10011	11110
			01010	10101
			01001	10110
			00110	11001
			00101	11010
			00011	11100
#	1	5	10	10	5	1

• Во последниот ред од табелата e запишан бројот на подредените исходи во таа колона. Гледаме дека тој број го следи т.н. биномен коефициент

${\displaystyle \#=\left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}}\right)={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

каде што знакот ! значи факториел, т.е. n!=n·(n-1)·(n-2)...·(2)·(1) (види и комбинаторика).

• Од друга страна, бидејќи секое повторување на Бернулиевиот опит е независно од минатите како и од идните повторувања, веројатноста на секој подреден исход со k успеси во n повторувања е

${\displaystyle p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}}$.

Следува дека веројатноста на секоја елемент k на Х e производот на овие два броја, односно

${\displaystyle Pr(X=k)=\left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}}\right)p^{k}(1-p)^{n-k}}$

Се разбира дека може да се докаже дека збирот на веројатностите е 1.^[2]

${\displaystyle \sum \limits _{k}{\Pr(X=k)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{\left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}}\right)}\,{p^{k}}{(1-p)^{n-k}}=1}$

Распределби на биномна распределба

• Биномен опит B(n,p) ја има дискретната случајна променлива: X={0,1,...,n}.

Закон на распределба - PDF на B(n,p)

PDF на B(n,p)
X=k	Биномен коефициент	Pr(X=k)=f(k)
0	${\displaystyle \left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\0\end{array}}\right)={\frac {n!}{0!(n-0)!}}=1}$	${\displaystyle 1\cdot p^{0}\cdot (1-p)^{n}=(1-p)^{n}}$
1	${\displaystyle \left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\1\end{array}}\right)={\frac {n!}{1!(n-1)!}}=n}$	${\displaystyle n\cdot p^{1}\cdot (1-p)^{n-1}=np(1-p)^{n-1}}$
2	${\displaystyle \left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\2\end{array}}\right)={\frac {n!}{2!(n-2)!}}={\frac {n\cdot (n-1)}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {n\cdot (n-1)}{2}}\cdot p^{2}\cdot p(1-p)^{n-2}}$
...	...	...
n	${\displaystyle \left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\n\end{array}}\right)={\frac {n!}{n!(n-n)!}}=1}$	${\displaystyle 1\cdot p^{n}\cdot (1-p)^{0}=p^{n}}$

Кумулативна распределба - CDF на B(n,p)

Бидејќи при собирање на соодветните веројатности во општа форма не доаѓа до некоја скратена форма ги даваме само неколку.

CDF на B(n,p)
x∈ℝ	F(x)
x<0	0
0≤x<1	(1-p)n
...	...
x≥n	1

Мерки на биномен опит

• Очекувана вредност E(x)  ^[3]

${\displaystyle E(x)=\sum \limits _{j}{{x_{j}}\cdot {p_{j}}=\sum \limits _{k=0}^{n}{k\cdot \left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\k\end{array}}\right)}}\,{p^{k}}{(1-p)^{n-k}}=np}$

• Дисперзија σ^{2  [4]}

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{j}{{{({x_{j}}-E(x))}^{2}}\cdot {p_{j}}=np(1-p)}}$

Примери

Пример (прод.): B(5,0.8) Приказ на распределбите, ...

PDF-от на B(5,0.8) X=k f(k)=Pr(X=k) 0  1 · 0,80·0,25=0,0003 1  5 · 0,81·0,24=0,0064 2 10 · 0,82·0,23=0,0512 3 10 · 0,83·0,22=0,2048 4  5 · 0,84·0,21=0,4096 5  1 · 0,85·0,20=0,3277 Σ 1,0000	CDF-от на Б(5,0.8) x F(x) x<0 0 0≤x<1 0,0003 1≤x<2 0,0067 2≤x<3 0,0579 3≤x<4 0,2627 4≤x<5 0,6723 x≥5 1

Очекувана вредност:	E(x)=np=5·0,8=4
Дисперзијата е:	σ2=np(1-p)=5·0,8·0,2=0,8
Стандардното отстапување е:	σ ≈ 0,89

Пример: Еден стрелец има веројатност p=0,8 да ја погоди целта. Колку е веројатноста во пет стрелања стрелецот да ја погоди целта барем 3 пати? Одговор: B(5;0,8) и 1-Pr(x<3)=1-0,0579=0,9421=94,2%.

Претставување на биномната распределба со Геогебра

За графички приказ на PDF-от, т.е. законот на распределба и на CDF-от, т.е. кумулативна распределба на биномна распределба може да се користи бесплатниот софтвер Геогебра.^[5]

Дефиниции специфични за биномната распределба се:

n=10    (или соодветен лизгач)

p=0,8  (или соодветен лизгач)

N=n+1

list1=Sequence[k-1,k,1,N]   Ја дефинира list1 со елементите на случајната променлива.

list2=Sequence[BinomialCoefficient[n, k] p^(k) (1 - p)^(n - k), k, 0, n]   Ја дефинира list2 со веројатностите.

Соодветните наредби на македонски (внимавате на кирилица и латиница) се:

листа1=Низа[k-1,k,1,N]

листа2=Низа[БиноменКоефициент[n, k] p^(k) (1 - p)^(n - k), k, 0, n]

Понатамошните дефиниции се исти за сите дискретни случајни променливи (види дискретна случајна променлива).