Исклучителна дисјункција

Исклучителна дисјункција (наречена и исклучително или — логичка операција на два операнда која резултира со логичка вредност на точно ако и само ако еден од опрандите, но не и двата, имаат вредност точно. Се симболизира и со претставниот поератор J i со вметочните оператори ИСКИЛИ (меѓународно: XOR или „ЕКСИЛИ“, EOR, EXOR) и ⊻, ⊕, ↮ и ≢ . Спротивен на ИСКИЛИ е логичкиот двоуслов, кој дава вистинитост (точно) секогаш кога обата елементи се исти.

Традиционално претставена логичка порта „ИСКСИЛИ“

Венов дијаграм за A ИСКСИЛИ B

Дефиниција

Кај многу природни јазици (вклучувајќи го македонскиот), толкувањето на поимот „или“ бара извесна доза на внимателност. Исклучителната дисјункција на два исказа, (p, q), значи дека p е точно или q е точно, но не и двете. На пример, нормалната намера на исказите од типот на „Ќе ги почитуваш правилата или ќе бидеш дисквалификуван“ е да се утврди дека точно само еден од условите може да биде вистинит. Меѓутоа во логиката, значењето на зборот „или“ под основно е вклучителна дисјункција, која значи дека најмалку една од алтернативите е вистинита (точна). латинскиот, јазик како и некои други имаат различни зборови за различните значења на ова „или“.

Исклучителната дисјункција е операција на две логички вредности, искази, кои даваат вредонст вистина (точно) ако и само ако еден, но не и двата операнда се вистинити.

Таблицата на вистинитост за p ИСКСИЛИ q е следнава:

Таблица на вистинитост: Исклучителна дисјункција

p	q	p ИСКСИЛИ q
⊥	⊥	⊥
⊥	т	т
т	⊥	т
т	т	⊥

Следниве еквиваленти можат да бидат изведени:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)\\\\&=&(p\lor q)&\land &(\lnot p\lor \lnot q)\\\\&=&(p\lor q)&\land &\lnot (p\land q)\end{matrix}}}$

Алтернативни знаци

Знакот за исклучителна дисјункција варира во зависност на неговата употреба, па дури и зависи од својствата кои се нагласуваат во даден котекст или дискусија. Покрај кратенката „ИСКСИЛИ“, можеме да ги видиме и следниве знаци:

• Знак плус (+). Ова е математички издржано заради тоа што исклучителната дисјункција соодветствува на собирање модул 2, која ја има следнава таблица на собирање, која е воочливо изоморфична со онаа погоре:

Операциона таблица: Износ на модулот 2

p	q	p + q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

• Уппотребата на знакот плус ја има додатната предност во тоа што сите обични алгебарски својства или прстени и полиња можат да се користат без додатни потешкотии.
• Знакот плус, кој е изменет на некој начин, како на пример со заокружување (⊕}. Меѓутоа употребата на овој знак е дискутабилна заради тоа што истиот се поклопува со математичкиот знак за директен износ на алгебарски структури.
• Знак за вклучителна дисјункција (∨) кој е изменет на некој начин, како со потцртување (∨).
• Знакот .

Еквивалентни изразувања

Исклучителната дисјункција ${\displaystyle p+q\!}$ може да се изрази како конјункција (∧), дисјункција (∨), и негација (¬) вака:

${\displaystyle {\begin{matrix}p+q&=&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}}$

Исклучителната дисјункција ${\displaystyle p+q\!}$ може исто така што се изрази на следниов начин:

${\displaystyle {\begin{matrix}p+q&=&\lnot (p\land q)\land (p\lor q)\end{matrix}}}$

Оваа претстава на ИСКСИЛИ може да биде корисна за правење на коло или мрежа, бидејќи има само една ¬ операција и мал број на ∧ и ∨ операции. Доказот на овој идентитет е даден подолу:

${\displaystyle {\begin{matrix}p+q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)\\&=&((p\land \lnot q)\lor \lnot p)&\land &((p\land \lnot q)\lor q)\\&=&((p\lor \lnot q)\land (\lnot q\lor \lnot p))&\land &((p\lor q)\land (\lnot q\lor q))\\&=&(\lnot p\lor \lnot q)&\land &(p\lor q)\\&=&\lnot (p\land q)&\land &(p\lor q)\end{matrix}}}$

Понекогаш тоа се користи за пишување на p ИСКСИЛИ q на следниов начин:

${\displaystyle {\begin{matrix}p+q&=&\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))\end{matrix}}}$

Ова еквиваленција може да се воспостави со примена на Де Моргановите закони двапати на четвртата линија на доказот погоре.

Асоцијативност и комутативност

Со оглед на изоморфизмот момеѓу собирањето модула 2 и исклучителната дисјункција, јасно е дека ИСКСИЛИ е и асоцијативна и комутативна операција. Затоа заградите можат да се испуштат во последователните операции и редот на поимите не му прави никаква разлика на резултатот. На пример, еве равенки:

${\displaystyle {\begin{matrix}p+q&=&q+p\\\\(p+q)+r&=&p+(q+r)&=&p+q+r\end{matrix}}}$

Својства

Овој оддел ги користи следниве знаци:

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{\mbox{false}}\\1&=&{\mbox{true}}\\\lnot p&=&{\mbox{not}}\ p\\p+q&=&p\ {\mbox{xor}}\ q\\p\land q&=&p\ {\mbox{and}}\ q\\p\lor q&=&p\ {\mbox{or}}\ q\end{matrix}}}$

Следниве равенки следат од логички аксиоми:

${\displaystyle {\begin{matrix}p+0&=&p\\p+1&=&\lnot p\\p+p&=&0\\p+\lnot p&=&1\\\\p+q&=&q+p\\p+q+p&=&q\\p+(q+r)&=&(p+q)+r\\p+q&=&\lnot p+\lnot q\\\lnot (p+q)&=&\lnot p+q&=&p+\lnot q\\\\p+(\lnot p\land q)&=&p\lor q\\p+(p\land \lnot q)&=&p\land q\\p+(p\lor q)&=&\lnot p\land q\\\lnot p+(p\lor \lnot q)&=&p\lor q\\p\land (p+\lnot q)&=&p\land q\\p\lor (p+q)&=&p\lor q\end{matrix}}}$

Битова операција

Исклучителните дисјункции често се користат кај битовите операции. Примери:

• 1 ИСКСИЛИ 1 = 0
• 1 ИСКСИЛИ 0 = 1
• 1110 ИСКСИЛИ 1001 = 0111 (ова е исто што и собирање без пренос)