Прстен (математика)

Прстен — алгебарска структура во математиката што се состои од множество заедно со две операции, собирање (обично означено со ${\displaystyle +}$) и множење (обично означено со ${\displaystyle \cdot }$), кои ги исполнуваат обичните услови кои би биле очекувани од вакви операции. Главен пример за прстен е прстенот на целите броеви ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ заедно со обичното собирање и множење.

Дефиниција

Еден прстен (со единица) е множество ${\displaystyle A}$ заедно со операции ${\displaystyle +,\cdot :A\times A\to A}$, некогаш нотирано како ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$, така што:

• ${\displaystyle (A,+)}$ е Абелова група со неутрален елемент ${\displaystyle 0\in A}$
• ${\displaystyle (A,\cdot )}$ е моноид со неутрален елемент ${\displaystyle 1\in A}$
• За сите ${\displaystyle a,b,c\in A}$ важи
  • ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$ (лево дистрибутивно својство)
  • ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$ (десно дистрибутивно својство)

Ако моноидот ${\displaystyle (A,\cdot )}$ е комутативен, тогаш и прстенот се нарекува комутативен.

Примери

Цели броеви

Целите броеви ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ заедно со обичното собирање и множење претставуваат комутативен прстен. Овој е еден од најосновните прстени во алгебрата.

Нулов прстен

Множеството ${\displaystyle \{0\}}$ заедно со единствената можни операции собирање и множење ${\displaystyle 0+0=0,0\cdot 0=0}$ сочинуваат комутативен прстен со единица. Во овој прстен важи ${\displaystyle 0=1}$.

Полиња

Едно поле е ненулов комутативен прстен ${\displaystyle (K,+,\cdot )}$ така што секој елемент различен од ${\displaystyle 0}$ во ${\displaystyle K}$ има инверзен елемент спрема мултипликацијата. Со други зборови, ${\displaystyle (A\setminus \{0\},\cdot )}$ е комутативна група. Примери за полиња се рационалните бреови ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, реалните броеви ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и комплексните броеви ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Прстенот на целите броеви не е поле бидејќи ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle -1}$ се единствените елементи во ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ кои што поседуваат инверзен елемент.

Прстени на матрици

Нека ${\displaystyle A}$ е прстен. Нека ${\displaystyle \operatorname {Mat} (A,n\times n)}$ е множеството на сите ${\displaystyle n\times n}$ матрици со коефициенти во ${\displaystyle A}$. Ова множество, заедно со собирањето и множењето на матрици, сочинуваат прстен. Овој прстен општо не е комутативен, дури ако и ${\displaystyle A}$ е комутативно.

Прстени на функции

Нека ${\displaystyle A}$ е прстен. Нека ${\displaystyle M\neq \emptyset }$ е произволно множество и нека ${\displaystyle \operatorname {Map} (M,A)}$ е множеството на сите функции (на множества) од видот ${\displaystyle M\to A}$. За функции ${\displaystyle f,g:M\to A}$ дефинираме ${\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x)}$ и ${\displaystyle (f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)}$. Тогаш, ова множество, заедно со вака дефинираните операции на собирање и множење, претставуваат прстен. Овој прстен е комутативен, ако и само ако ${\displaystyle A}$ е комутативен.

Хомоморфизам на прстени

Една функција ${\displaystyle f:A\to B}$ меѓу два прстени ${\displaystyle A,B}$ се нарекува хомоморфизам (на прстени) ако за сите ${\displaystyle a,a'\in A}$:

• ${\displaystyle f(a+a')=f(a)+f(a')}$
• ${\displaystyle f(aa')=f(a)f(a')}$
• ${\displaystyle f(1_{A})=1_{B}}$

каде ${\displaystyle 1_{A},1_{B}}$ ги означуваат единиците во ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.

Еден хомоморфизам на прстени значи е функција меѓу прстени која ја запазува структурата на овие два прстени.

Ако ${\displaystyle f}$ е инјективен тогаш тој се нарекува мономорфизам. Аке тој е сурјективен, тој се нарекува епиморфизам. Ако хомоморфизмот е бијективен, тој се нарекува изоморфизам. Овие означувања се користат често во математиката за функции кои зачувуваат некој вид структура. Два прстени ${\displaystyle A,B}$ се нарекуваат изоморфни ако постои изоморфизам меѓу нив. Изоморфни прстени имаат иста структура како прстени и затоа се гледаат како еден ист прстен.

Јадро

Нека ${\displaystyle f:A\to B}$ е хомоморфизам на прстени. Множеството ${\displaystyle \ker f:=\{a\in A\mid f(a)=0\}}$ се нарекува јадрото на ${\displaystyle f}$.

Потструктури

Потпрстен

Нека ${\displaystyle B}$ е прстен и ${\displaystyle A\subseteq B}$ подмножество. Ако со рестрикција на операциите од ${\displaystyle B}$ на подмножеството ${\displaystyle A}$ истиот претставува прстен, тогаш ${\displaystyle A}$ се нарекува потпрстен на ${\displaystyle B}$.

Лев, десен и двостран идеал

Едно подмножество ${\displaystyle L\subseteq A}$ на еден прстен ${\displaystyle A}$ се нарекува лев идеал, ако:

• ${\displaystyle 0\in L}$
• за сита ${\displaystyle l,l'\in L}$ важи ${\displaystyle l+l'\in L}$
• за сите ${\displaystyle a\in A,l\in L}$ важи ${\displaystyle al\in L}$

Едно подмножество ${\displaystyle R\subseteq A}$ на еден прстен ${\displaystyle A}$ се нарекува десен идеал, ако:

• ${\displaystyle 0\in R}$
• за сите ${\displaystyle r,r'\in R}$ важи ${\displaystyle r+r'\in R}$
• за сите ${\displaystyle a\in A,r\in R}$ важи ${\displaystyle ra\in R}$

Подмножество ${\displaystyle I\subseteq A}$ кој што е и лев и десен идеал се нарекува двостран идеал.

Во еден комутативен прстен, сите овие три дефиниции се еквивалентни и тогаш зборуваме за идеал.

Примери за идеали

Нула идеалот ${\displaystyle \{0\}\subseteq A}$ и целиот прстен ${\displaystyle A\subseteq A}$ се двострани идеали во секој прстен.

Јадрото на еден хомоморфизам на прстени ${\displaystyle A\to B}$ е двостран идеал во ${\displaystyle A}$.

Нека ${\displaystyle r\in A}$ е елемент во еден комутативен прстен ${\displaystyle A}$. Тогаш ${\displaystyle (r):=\{ar\mid a\in A\}}$ е идеал и се нарекува од ${\displaystyle a}$ генерираниот идеал. Слично може да го дефинираме од една група на елементи ${\displaystyle r_{i}\in A,i\in I}$ генерираниот идеал како ${\displaystyle (r_{i})_{i\in I}:=\left\{\sum _{i\in I}a_{i}r_{i}\mid a_{i}\in A,a_{i}=0{\text{ за сите освен конечно многу }}a_{i}\right\}}$.

Видови идеали

Еден идеал ${\displaystyle I\subseteq A}$ се нарекува:

• прост, ако за сите ${\displaystyle a,a'\in A}$ така што ${\displaystyle aa'\in I}$ важи ${\displaystyle a\in I}$ или ${\displaystyle a'\in I}$.
• максимален, ако за секој идеал ${\displaystyle I'\subseteq A}$ така што ${\displaystyle I\subseteq I'}$ важи ${\displaystyle I=I'}$ или ${\displaystyle I=A}$
• радикален, ако за секој елемент ${\displaystyle a\in A}$ така што ${\displaystyle a^{n}\in I}$ за некој ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$ важи ${\displaystyle a\in I}$.

Секој максимален идеал е прост, и секој прост идеал е радикален.

Видови прстени

Интегрален домен

Нека ${\displaystyle A}$ е комутативен прстен. Тогаш, еден елемент ${\displaystyle a\in A}$ се нарекува делител на нула ако постои ${\displaystyle 0\neq a'\in A}$ така што ${\displaystyle aa'=0}$.

${\displaystyle A}$ се нарекува интегрален домен ако тој нема делители на нула освен ${\displaystyle 0}$. Еквивалентно ${\displaystyle A}$ е интегрален домен ако ${\displaystyle \{0\}\subseteq A}$ е прост идеал.

Целите броеви ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ сочинуваат интегрален домен. Секое поле е интегрален домен.

Редуциран прстен

Нека ${\displaystyle A}$ е комутативен прстен. Еден елемент ${\displaystyle a\in A}$ се нарекува нилпотентен ако постои ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$ така што ${\displaystyle a^{n}=0}$.

${\displaystyle A}$ се нарекува редуциран ако нема нилпотентни елементи освен ${\displaystyle 0}$. Еквивалентно ${\displaystyle A}$ е редуциран ако ${\displaystyle \{0\}\subseteq A}$ е радикален идеал.

Секој нилпотентен елемент е делител на нула, така што секој интегрален домен е редуциран.

Фактор-прстен

Нека ${\displaystyle A}$ e комутативен прстен и ${\displaystyle I\subseteq A}$ идеал. Релацијата ${\displaystyle \sim }$ дефинирана како ${\displaystyle a\sim a':\Leftrightarrow a-a'\in I}$ е релација за еквивалентност. Го дефинираме множеството ${\displaystyle A/I:=A/\sim }$ како можеството на класи спрема релацијата ${\displaystyle \sim }$. За ${\displaystyle a\in A}$ нека е ${\displaystyle [a]\in A/I}$ класата репрезентирана од ${\displaystyle a}$. Тогаш дефинираме за сите ${\displaystyle a,a'\in A}$:

• ${\displaystyle [a]+[a']:=[a+a']}$
• ${\displaystyle [a]\cdot [a']:=[a\cdot a']}$

Овие операции се добро дефинирани. ${\displaystyle A/I}$ заедно со овие две операции сочинуваат комутативен прстен кој се нарекува фактор-прстен на ${\displaystyle A}$ по ${\displaystyle I}$.

Примери

Нека ${\displaystyle I=(n)\subseteq \mathbb {Z} }$ е од ${\displaystyle n}$ генерираниот идеал. Фактор-прстенот по овој идеал е тогаш ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ :=\mathbb {Z} /I} . За овој прстен важи ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{[0],[1],\dots ,[n-1]\}}$ и собирањето и множењето се дефинирани модуло ${\displaystyle n}$.

Својства

Нека ${\displaystyle A}$ е комутативен прстен и ${\displaystyle I\subseteq {A}}$ идеал. Тогаш важи:

• ${\displaystyle A/I}$ е интегрален домен ако и само ако ${\displaystyle I}$ е прост.
• ${\displaystyle A/I}$ е поле ако и само ако ${\displaystyle I}$ е максимален.
• ${\displaystyle A/I}$ е редуциран ако и само ако ${\displaystyle I}$ е радикален.

Примени

Прстените се една од нај распорстранетите структури во алгебрата.

Алгебарска теорија на броеви

Еден од најважните објекти во алгебарската теорија на броеви се таканаречените прстени на цели броеви. Овие го обопштуваат прстенот на целите броеви во конечно проширување на полиња ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$. Овие прстени се Дедекиндови домени, т.е. интегрално затворени, нетерови прстени во кој што секој од нула различен прост идеал е максимален.

Алгебарска геометрија

Во алгебарската геометрија, за едно поле ${\displaystyle k}$ постои 1 спрема 1 кореспонденција меѓу редуцирани конечно генерирани прстени кои што го содржат ${\displaystyle k}$ (т.н. редуцирани конечно генерирани ${\displaystyle k}$-алгебри) и иредуцибилни вариетети врз ${\displaystyle k}$. Вариетет е множество на нула на полиноми во повеќе променливи со коефициенти во ${\displaystyle k}$.