Нормална распределба

Нормална распределба или Гаусова распределба — веројатносна распределба на случајна големина со препознатлива форма во облик на звоно. Нормалната распределба ја открил германскиот математичар Карл Ф. Гаус, а називот „нормална распределба“ го дал Галтон. Во Европа, тој е познат како Гаусова распределба, додека во англосаксонските земји е познат како нормална распределба.^[1]

Нормална распределба

Веројатносна густина Црвената крива е стандардна нормална распределба
Распределбена функција
Запис	${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$
Параметри	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ = средина (положба) ${\displaystyle \sigma ^{2}\in \mathbb {R} _{>0}}$ = варијанса квадриран размер)
Носител	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
ФВГ	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$
РФ	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}$
Квантилна	${\displaystyle \mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)}$
Средина	${\displaystyle \mu }$
Медијана	${\displaystyle \mu }$
Модус	${\displaystyle \mu }$
Варијанса	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
ПАО	${\displaystyle \sigma {\sqrt {2/\pi }}}$
Накосеност	${\displaystyle 0}$
Вишок зашиленост	${\displaystyle 0}$
Ентропија	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi \sigma ^{2})+{\frac {1}{2}}}$
МТФ	${\displaystyle \exp(\mu t+\sigma ^{2}t^{2}/2)}$
КФ	${\displaystyle \exp(i\mu t-\sigma ^{2}t^{2}/2)}$
Фишерова информација	${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma )={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&2/\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}}$
Кулбак-Лајблерово разидување	${\displaystyle {1 \over 2}\left\{\left({\frac {\sigma _{0}}{\sigma _{1}}}\right)^{2}+{\frac {(\mu _{1}-\mu _{0})^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-1+\ln {\sigma _{1}^{2} \over \sigma _{0}^{2}}\right\}}$

Вкупната плоштина под кривата изнесува 1. X е нормална случајна променлива со кумулативна функција на распределба F (X), а a и b се две можни вредности на X, при што а < b.

Опис на нормалната распределба

Нормалната распределба блиску го апроксимира веројатносната распределба со широк интервал на случајни променливи. Има бројни примери за нормална распределба: вкупните продажби на производство, моделите на цените на акциите и слично. Нормалната случајна променлива X претставува непрекината променлива која зема бесконечен број на можни вредности од -∞ до +∞, со функција која го претставува распределбата на веројатноста во дадениот интервал. Распределбата на средините на примероците се приближуваат кон нормална распределба, ако се работи за големина на примерок.

Функција на густина на веројатност на нормална распределба

Нормалната распределба на веројатноста претставува големо множество на распределби, секој со единствена спецификација за параметрите µ и σ.^{2 [2]}

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}},\,\quad x\in \mathbb {R} ,}$

Својства на нормални распределби

• Средина на случајната променлива е µ

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu .\,\!}$

• Варијансата на случајната променлива е σ²

${\displaystyle \operatorname {\sigma ^{2}} =\sum _{i=1}^{n}(p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2})=\sum _{i=1}^{n}(p_{i}\cdot x_{i}^{2})-\mu ^{2}}$

• Доколку ја знаеме средината и варијансата, можеме да ја дефинираме нормалната распределба со користење на ознаката

${\displaystyle X\ \sim \ {\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2}).}$

• Коефициентот на асиметрија (накосеност) α3=0, а коефициентот на зашиленост α4=3 • Функцијата на густина на веројатноста е унимодална (М=Ме=Мо) Нормалната распределба е симетричен. Различните централни тенденции се прикажуваат со разликите во µ. Разликите во σ² резултираат со функции на густина со различни ширини. Средината на распределбата дава мерка на централна локација, а варијансата дава мерка на дисперзијата околу средината.^[3] Важна одлика на нормалната распределба е тоа што е целосно определена од нејзините први два моменти: средната вредност и варијансата.^[2]

Кумулативна функција на нормална распределба

${\displaystyle F_{(}X)=\operatorname {P} (X\leq x),}$

Тоа е плоштината под нормалната функција на густината на веројатноста на лево од x. Вкупната плоштина под кривата изнесува 1. X е нормална случајна променлива со кумулативна функција на распределба F (X), а a и b се две можни вредности на X, при што а < b.

${\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a).\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Стандардна нормална распределба

Стандардна нормална распределба

За да може да се врши споредба на распределбите, потребно е нормалната распределба да има единечен облик, односно облик кој не зависи од параметрите µ и σ². Нормалната распределба која се одликува со средна вредност еднаква на нула и варијанса еднаква на еден (µ=0, σ² =1) се нарекува стандардна нормална распределба. Оваа распределба е совршено симетрична, а нејзината средна вредност е еднаква на модусот и на медијаната (чија веројатност за случување изнесува 50%). Притоа, 95% од нормалната распределба ги опфаќа вредностите од две стандардни отстапувања над и под средната вредност, 66% од вредностите се наоѓаат во интервалот од едно стандардно отстапвуање под и над средната вредност, а 99% од вредностите се наоѓаат во интервалот од три стандардни отстапувања над и под средната вредност.^[4]

Z ~ ${\displaystyle N(0,1)}$

Можеме да ја добиеме веројатноста за која било нормално распределена случајна променлива со тоа што ќе ја претвориме во случајна променлива со стандардна нормална распределба Z. Секогаш постои директна зависност меѓу било која нормално распределена променлива и Z, а тоа се постигнува со трансформацијата:

${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }},}$

Параметри на стандардната нормална распределба:

Стандардната нормална распределба се одликува со следниве параметри:^[5] • Аритметичката средина µ = 0 • Варијанса σ² = 1 • Коефициент на асиметрија α3=0, што значи дека распределбата е едномодална и идеално симетрична. • Коефициентот на зашиленост α4=3, што значи дека распределбата има нормална висина.

Кумулативна функција на стандардна нормална распределба:

${\displaystyle F_{(}Z)=\operatorname {P} (Z\leq z),}$

Вредностите на кумулативната функција на распределба за негативни вредности на Z можат да се утврдат со користење на симетрија на функцијата на густината на веројатноста.

${\displaystyle {P}(-z<Z\leq z)=2F(z)-1}$