Парабола

Парабола – вид крива линија добиена со сечење на обвивката и основата на конус со рамнина.^[1] Параболата се дефинира и како множество точки во рамнина кои се еднакво оддалечени од дадена точка (жариште или фокус) и дадена права (директриса).

За стилската фигура, погледајте ја Парабола (книжевност)

Параболата е крива која настанува на пресекот меѓу конус и рамнина

Парабола чие теме е во почетокот на координатниот систем

Параболична патека на млаз вода

Линијата нормална на директрисата која минува низ фокусот се нарекува „оска на симетрија“. Точката на параболата која е пресечна точка со оската на симетрија се нарекува „теме“ и тоа точката каде параболата е најискривена. Растојанието меѓу темето и фокусот измерено по оската на симетрија се нарекува „фокусно растојание“. Сите параболи се геометриски слични.

Параболите имаат својство што, доколку се изработени од материјал што ја рефлектира светлината, тогаш светлинските зраци се паралелни со оската на симетрија на параболата, ја погодуваат неговата конкавна страна и се рефлектираат во неговиот фокус, без оглед од кој дел од параболата се одбиваат. Спротивно на тоа, светлината што потекнува од точка на извор во фокусот на параболата, се рефлектира во паралелен сноп, и ја напушта параболата паралелно со оската на симетријата. Истите ефекти се јавуваат со звукот и други облици на енергија. Ова својство на рефлексија е основа на многу практични употреби на параболите.

Параболата има многу важни апликации, од параболична антена или параболичен микрофон до автомобилски рефлектори на фаровите, до дизајн за балистички ракети. Тие често се користат во физиката, инженерството и во многу други области.

Равенка на параболата

Ако директрисата на параболата r е еднаква на апсцисата, нејзината равенка е x = -p/2, каде p е полупараметар на параболата, темето на параболата е во координатниот почеток, а жариштето на параболата F е во (p/2,0), тогаш равенката има облик

${\displaystyle y^{2}=2px\,}$

која претставува темена равенка на парабола. Ако параболата е осносиметрична во однос на ординатата (y-оска) на координатниот систем, тогаш нејзината равенка е:

${\displaystyle x^{2}=2py\,}$.

Тангента на парабола

Тангентата на парабола чие теме е во координатниот почеток и која поминува низ точката T ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ на параболата, одредена е со координатите на точката T и коефициентот на правецот на тангентата. Со диференцирање на соодветната равенка на параболата се добива:

${\displaystyle 2ydy=2pdx\,}$

од каде следи:

${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}=\tan \alpha \,={\frac {p}{y}}}$

односно дека равенката на тангентата на параболата е

${\displaystyle y-y_{0}={\frac {p}{y}}(x-x_{0})\,}$.

Ако параболата е оскосиметрична во однос на ординатата (y-оска) на координатниот систем, тогаш со диференцирање на соодветната равенка на параболата следи

${\displaystyle 2xdx=2pdy\,}$

од каде понатаму следи

${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}=\tan \alpha ={\frac {x}{p}}}$

односно дека равенката на тангентата на параболата е

${\displaystyle y-y_{0}={\frac {x}{p}}(x-x_{0})\,}$.

Теме на парабола

Нека ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ се точки на параболата која е дадена со равенката ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ еднакво оддалечени од нејзиното теме, и нека е, без намалување на општоста, ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$. Тогаш апсцисата на темето ${\displaystyle x_{0}}$, се наоѓа на правата која поминува низ средината на интервалот ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$, т.е. ${\displaystyle x_{0}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$, односно користејќи ги Виетови формули ${\displaystyle x_{0}=-{\frac {b}{2a}}}$.

Како ординатата на темето зависи од ${\displaystyle x_{0}}$, со вклучување во равенката на дадената парабола се добива ${\displaystyle y_{0}={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$.

Според тоа, координатите на темето на секоја парабола се ${\displaystyle T({\frac {-b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}})}$.

Поврзано

• Конусен пресек
• Елипса
• Хипербола
• Кружница