Површински интеграл

Површински интеграл — во математиката претставува генерализација на повеќекратни интеграли за интеграција преку површина. Може да се смета како двоен интеграл аналоген на криволиниски интеграл . Во однос на површината, може да се интегрира преку неговите скаларни полиња (т.е. функции кои враќаат скалари како вредности) и векторски полиња (т.е. функции кои враќаат вектори како вредности).

Дефиницијата на површинскиот интеграл се потпира на поделбата на површината на помали површински елементи.

Површинските интеграли имаат примена во физиката, делумно со теориите на класичниот електромагнетизам.

Површински интеграл на скаларни полиња

За да се најде експлицитна формула за површинскиот интеграл, неопходно е да се параметриизира областа на интерес, S, сметајќи го системот на криволиниски координати на S, како и географската ширина и должина на сферата. Нека таквата параметаризација биде ${\displaystyle x}$ (s, t), каде што (s, t) варира во некоја област T во рамнината. Потоа, даден е површинскиот интеграл

${\displaystyle \iint \limits _{S}f\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

каде изразот меѓу линиите од десната страна е големината на вкрстениот производ на парцијалните изводи ${\displaystyle x}$ (s, t) и е познат како површински елемент. Површинскиот интеграл може да се изрази и во еквивалентна форма

${\displaystyle \iint \limits _{S}f\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}f(\mathbf {x} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

каде што g е детерминанта на првиот фундаментален облик на површинско пресликување ${\displaystyle x}$ (s, t).^[1][2]

На пример, ако сакаме да ја најдеме површината на графиконот на некоја скаларна функција, на пример ${\displaystyle z=f(x,y)}$, имаме

${\displaystyle {\displaystyle A=\iint \limits _{S}\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}}$

при што ${\displaystyle {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}\mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}$ . Така што ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$ и${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$ следи

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint \limits _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \limits _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \limits _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}}$

што е стандардната формула за површината опишана на овој начин. Векторот може да се препознае во вториот ред погоре како нормален вектор на површината.

Треба да се има на ум дека, поради присуството на вкрстен производ, горенаведените формули важат само за површини вградени во тридимензионален простор.

Поврзано

• Криволиниски интеграл
• Зафатнински интеграл
• Декартов координатен систем
• Сферен координатен систем
• Цилиндричен координатен систем