Зафатнински интеграл

Во математиката (особено во анализата со повеќе променливи), зафатнински или волуменски интеграл (∭) е интеграл над 3-димензионален домен, односно тоа е посебен случај на повеќекратен интеграл. Зафатнинските интеграли се особено важни во физиката во многу примени, на пример, за пресметување на густината на флуксот или за пресметување на масата од соодветната функција на густина.

Во координатен систем

Може да значи и троен интеграл во рамките на една област ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ на функција ${\displaystyle f(x,y,z),}$ и обично се пишува како: $${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$$

Зафатнински интеграл во цилиндрични координати има облик: $${\displaystyle \iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,}$$и зафатнински интеграл во сферични координати (со користење на ISO конвенцијата за агли со ${\displaystyle \varphi }$ како азимут и ${\displaystyle \theta }$ мерено од поларната оска) има облик:$${\displaystyle \iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}$$

Пример

Со интегрирање на равенката ${\displaystyle f(x,y,z)=1}$ над единична коцка го дава следниот резултат: $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1}$$

Па, зафатнината на единичната коцка е 1 како што се очекуваше. Сепак, ова е прилично тривијално, а зафатнинскиот интеграл е многу помоќен. На пример, ако имаме функција на скаларна густина на единичната коцка, тогаш зафатнинскиот интеграл ќе ја даде вкупната маса на коцката. На пример за функцијата за густина: $${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}}$$ вкупната маса на коцката е: $${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}}$$

Поврзано

• Површински интеграл
• Зафатнински елемент
• Линиски елемент
• Линиски интеграл

Надворешни врски

• Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Multiple integral“, Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
• Статија за зафатнински интеграли на семрежното место MathWorld