Полиедар

Полиедар (од стгр. поли = „многу“ + -едар „основа, страна“)^[1] — геометриско тело со рамни страни и прави рабови и претставува тридимензионален пример за поопштата претстава за политоп во неопределен број димензии.

Додекаедар (правилен полиедар)

Октоаголна призма

Мал ѕвездест додекаедар

Основа за дефинирање

Дефиницијата за полиедар како тело ограничено со рамни страни и прави линии не е многу прецизна, и не е задоволителна во современата математика. Во поново време постојат поточни определби во зависност од случаите.

Полиедарот може да биде составен од различни елементи или ентитети, секој според бројот на димензии:

• 3 димензии: телото е ограничено со страните, и обично, е претставено со волуменот што тие го опфаќаат.
• 2 димензии: страната е многуаголник што ограничен со коло од рабови, и обично го опфаќа рамното (рамнинско) подрачје во границата. Многуаголните страни заедно ја сочинуваат површината.
• 1 димензија: работ сврзува темиња и страни, и обично претставува отсечка. Рабовите заедно го образуваат „костурот“ на полиедарот.
• 0 димензии: теме е точка на ќоше.
• -1 димензија: нулти политоп е вид на неентитет потребен во апстрактните теории.

Во поопшта смисла во математиката и другите полиња, под „полиедар“ се подразбираат различни сродни конструкции - некои геометриски, а други алгебарски или апстрактни.

Особености

Полиедарска површина

Својствено за речиси сите видови на полиедри е тоа што секој раб поврзува само две страни. Ова значи дека површината е постојана и телото не се исчашува на друга страна.

Рабови

Рабовите имаат две важни одлики (освен кога полиедарот е сложен):

• работ сврзува само две темиња.
• работ сврзува само две страни.

Овие две одлики се дуални една на друга.

Ојлерова одлика

Ромпски тријаконтаедар (полуправилен полиедар)

Ојлеровата одлика χ го дава односот на бројот на темиња V, рабови E и страни F кај еден полиедар:

${\displaystyle \chi =V-E+F.\ }$

Кај испакнат полиедар или, поопшто, кај секој просто сврзан полиедар чиишто страни исто така се просто сврзани и чија граница е многуобразие, χ = 2.

Ориентабилност

Некои полиедри, како што се сите испакнати полиедри, имаат две посебни страни на секоја површина. За таквата фигура се вели дека е ориентабилна.

Меѓутоа, кај некои полиедри ова не е возможно, па затоа фигурата се нарекува „неориентабилна“. Сите полиедри со непарна Ојлерова одлика се неориентабилни. Дадена фигура со χ < 2 may or may not be ориентабилно.

Темена фигура

За секое теме можеме да утврдиме темена фигура, која ја опишува месната структура на фигурата околу темето. Ако темената фигура е правилен многуаголник, тогаш самото теме ќе биде „правилно“.

Дуалност

За секој полиедар постои дуален полиедар, кој има:

• страни на местата кајшто првиот има темиња и обратно,
• ист број на рабови
• истата Ојлерова одлика и ориентабилност

Волумен

Волуменот на еден ориентабилен полиедар може да се пресмета со помош на Гаусовата теорема за разидување. Ако го земеме векторското поле ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {x}})={\frac {1}{3}}{\vec {x}}=({\frac {x_{1}}{3}},{\frac {x_{2}}{3}},{\frac {x_{3}}{3}})}$, чие разидување е истоветно 1. Од теоремата следи дека волуменот на секое подрачје Ω ќе биде

${\displaystyle {\text{V}}(\Omega )=\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {F}}d\Omega =\oint _{S}{\vec {F}}\cdot {\hat {n}}dS.}$

Кога Ω е подрачјето што го зафаќа полиедарот, бидејќи неговите страни се планарни и имаат расчленети константни нормали, ова се упростува на

${\displaystyle {\text{V}}={\frac {1}{3}}\sum _{{\text{CTPAHA }}i}{\vec {x}}_{i}\cdot {\hat {n}}_{i}A_{i}}$

каде за i'-тата страна, ${\displaystyle {\vec {x}}_{i}}$ е нејзиното тежиште, ${\displaystyle {\hat {n}}_{i}}$ е нормалниот вектор, а ${\displaystyle A_{i}}$ е нејзината површина.

Некогаш е тешко да се набројат површините, па затоа пресметката на волуменот може да биде нетривијална. Затоа постојат посебни алгоритми наменети за утврдување на волуменот (многу од нив се воопштуваат до испакнати политопи).^[2]

Поврзано

„Полиедар“ на Ризницата ?

• Антипризма
• Бипирамида
• Архимедово тело (полуправилен полиедар)
• Платоново тело (правилен полиедар)
• Правилен полиедар
• Призма
• Спидрон
• Поплочување
• Шлегелов дијаграм
• Мауриц Корнелис Ешер